Use a definição por limite de derivadas parciais para calcular partial fpartial x e partial fpartial y :
f(x, y)=x^2-2 x y+y^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de f(x,y)=x²−2xy+y² usando a definição por limite. O conteúdo é derivadas parciais e vamos precisar usar a definição partial fpartial x(x,y)=limhto0f(x+h,y)-f(x,y)h e análogo para partial fpartial y.

Passo 2

Aplicamos a definição de partial fpartial x(x,y) substituindo na fórmula do limite e desenvolvendo f(x+h,y):
f(x+h,y)=(x+h)^2-2(x+h)y+y^2 =x^2+2xh+h^2-2xy-2hy+y^2
Observamos então que
f(x+h,y)-f(x,y)=l(x^2+2xh+h^2-2xy-2hy+y^2r)-(x^2-2xy+y^2)=2xh+h^2-2hy

Passo 3

Dividindo pelo diferencial e fazendo hto0:
f(x+h,y)-f(x,y)h=2xh+h^2-2hyh=2x+h-2y
Logo,
partial fpartial x(x,y)=limhto0(2x+h-2y)=2x-2y

Passo 4

Para partial fpartial y(x,y) usamos a mesma ideia, com um incremento k em y: desenvolvemos f(x,y+k):
f(x,y+k)=x^2-2x(y+k)+(y+k)^2 =x^2-2xy-2xk+y^2+2yk+k^2
Então:
f(x,y+k)-f(x,y)=-2xk+2yk+k^2

Passo 5

Dividimos por k e tomamos o limite kto0:
f(x,y+k)-f(x,y)k=-2xk+2yk+k^2k=-2x+2y+k
Portanto,
partial fpartial y(x,y)=limkto0(-2x+2y+k)=-2x+2y

Resposta

partial fpartial x=2x-2y e partial fpartial y=-2x+2y

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