2^ a Questão Verifique, justificando, quais das funções abaixo, saisfazem o Teorema de Rolle, no intervalo dado, e em caso afirmativo, determine o(s) valores da(s) constante(s) existente(s) dada pelo teorema.
gf(x)=sen(x)-cos (x)
em [0, pi]

Passo 1

Temos a função g(x)=sin(x)-cos(x) no intervalo [0,pi]. O conteúdo aqui é o Teorema de Rolle, que requer: a) continuidade em [a,b]; b) derivabilidade em (a,b); c) f(a)=f(b). Se tudo valer, existe cin(a,b) com f'(c)=0.

Passo 2

A função g(x)=sin(x)-cos(x) é soma de sin(x) e -cos(x), ambas contínuas em [0,pi] e deriváveis em (0,pi). Logo, g satisfaz os requisitos de continuidade e derivabilidade.

Passo 3

Calculamos os valores nos extremos:
g(0)=sin(0)-cos(0)=0-1=-1
g(pi)=sin(pi)-cos(pi)=0-(-1)=1

Passo 4

Observamos que g(0)neq g(pi), ou seja, a condição f(a)=f(b) não se verifica. Portanto, o Teorema de Rolle não se aplica a g em [0,pi] e não há valor c garantido pelo teorema.

Resposta

A função não satisfaz o Teorema de Rolle em [0,π], pois g(0)neq g(π). Logo, não existe valor c conforme o teorema.

Exercícios relacionados