3^ a Questão Verifique, justificando, quais das funções abaixo, saisfazem o Teorema do Valor Intermediário, no intervalo dado, e em caso afirmativo, determine o(s) valores da(s) constante(s) existente(s) dada pelo teorema.
ha(x)=x^2+4 x-1 em 0,1

Passo 1

Temos a função ha(x)=x^2+4x-1 no intervalo [0,1]. O conteúdo é o Teorema do Valor Intermediário, que exige que ha seja contínua em [0,1] e que escolhamos um valor y entre ha(0) e ha(1). Aqui vamos usar y=0 para mostrar que existe cin(0,1) tal que ha(c)=0.

Passo 2

Como ha(x) é um polinômio, ela é contínua em todo R, e portanto em [0,1]. Isso satisfaz a hipótese de continuidade do Teorema do Valor Intermediário.

Passo 3

Calculamos os valores nos extremos do intervalo:
ha(0)=0^2+4cdot0-1=-1,
ha(1)=1^2+4cdot1-1=4

Passo 4

Como 0 está entre -1 e 4, o Teorema do Valor Intermediário garante a existência de pelo menos um cin(0,1) tal que ha(c)=0.

Passo 5

Para encontrar esse c, resolvemos a equação
c^2+4c-1=0

Passo 6

Aplicando a fórmula de Bhaskara:
c=-4pmraiz4^2-4cdot1cdot(-1)2=-4pmraiz202=-2pmraiz5

Passo 7

Destes dois valores, -2-raiz5<0 está fora de (0,1) e -2+raiz5in(0,1). Portanto o c garantido é c=raiz5-2.

Resposta

c=raiz5-2

Exercícios relacionados