Use o recurso de completar quadrados para resolver a equação
. Esboce do gráfico de
.
Determine a inversa de
(se necessário, restrinja o domínio e o contradomínio da função).
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação f(x)=0 por completar quadrados, esboçar o gráfico de y=f(x) e depois determinar a inversa de f(x), possivelmente restringindo domínio e contradomínio. Vamos usar teoria de quadráticas e definição de função inversa.
Passo 2
Reescrevemos f(x)=8+2x−x^2 na forma canônica. Primeiro fatore o sinal de x^2:
Em seguida completamos o quadrado dentro do colchete:
Logo,
Passo 3
Para resolver f(x)=0, igualamos a forma canônica a zero:
Desse modo x-1=±3, logo as raízes são
Passo 4
Para esboçar o gráfico de y=f(x) note que é uma parábola com concavidade para baixo e vértice em (1,9). Os interceptos com o eixo x são em (-2,0) e (4,0), e o intercepto com o eixo y é f(0)=8. Assim desenhamos uma curva simétrica em torno de x=1 que atinge o máximo y=9.
Passo 5
Como f é não injetora em ℝ, restringimos o domínio a x≤1 (onde f é estritamente crescente) para ter inversa. Partindo de y = -(x-1)^2 +9, isolamos x:
Como x-1 ≤ 0 (domínio x≤1), tomamos a raiz negativa:
Trocando y por x para a função inversa, obtemos f^{-1}(x)=1 - \sqrt{9-x}, com domínio x≤9 e contradomínio (-∞,1].
Resposta
As soluções de f(x)=0 são x=-2 e x=4. O esboço é uma parábola com vértice em (1,9) e interceptos em (-2,0),(4,0) e (0,8). Restrigindo o domínio a x≤1, a inversa é f^{-1}(x)=1-\sqrt{9-x}, com domínio (-∞,9] e contradomínio (-∞,1].