Use o recurso de completar quadrados para resolver a equação f(x)=0. Esboce do gráfico de y=f(x).
Determine a inversa de f(x) (se necessário, restrinja o domínio e o contradomínio da função).
f(x)=8+2 x-x^2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação f(x)=0 por completar quadrados, esboçar o gráfico de y=f(x) e depois determinar a inversa de f(x), possivelmente restringindo domínio e contradomínio. Vamos usar teoria de quadráticas e definição de função inversa.

Passo 2

Reescrevemos f(x)=8+2x−x^2 na forma canônica. Primeiro fatore o sinal de x^2:
f(x)= -l(x^2 -2xr)+8
Em seguida completamos o quadrado dentro do colchete:
x^2 -2x = (x-1)^2 -1
Logo,
f(x)= -l((x-1)^2 -1r)+8 = -(x-1)^2 +1 +8 = -(x-1)^2 +9

Passo 3

Para resolver f(x)=0, igualamos a forma canônica a zero:
-(x-1)^2 +9 = 0 implies (x-1)^2 = 9
Desse modo x-1=±3, logo as raízes são
x = 1+3 = 4 e x = 1-3 = -2

Passo 4

Para esboçar o gráfico de y=f(x) note que é uma parábola com concavidade para baixo e vértice em (1,9). Os interceptos com o eixo x são em (-2,0) e (4,0), e o intercepto com o eixo y é f(0)=8. Assim desenhamos uma curva simétrica em torno de x=1 que atinge o máximo y=9.

Passo 5

Como f é não injetora em ℝ, restringimos o domínio a x≤1 (onde f é estritamente crescente) para ter inversa. Partindo de y = -(x-1)^2 +9, isolamos x:
-(x-1)^2 = y-9 implies (x-1)^2 = 9-y
Como x-1 ≤ 0 (domínio x≤1), tomamos a raiz negativa:
x-1 = -raiz9-y implies x = 1 - raiz9-y
Trocando y por x para a função inversa, obtemos f^{-1}(x)=1 - \sqrt{9-x}, com domínio x≤9 e contradomínio (-∞,1].

Resposta

As soluções de f(x)=0 são x=-2 e x=4. O esboço é uma parábola com vértice em (1,9) e interceptos em (-2,0),(4,0) e (0,8). Restrigindo o domínio a x≤1, a inversa é f^{-1}(x)=1-\sqrt{9-x}, com domínio (-∞,9] e contradomínio (-∞,1].

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