Questão 1 Verifique se o limite existe e, em caso afirmativo, calcule-o:
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{\operatorname{sen}(x y)}{y}.

Passo 1

O enunciado pede o limite da função de duas variáveis
f(x,y) = \frac{\sin(xy)}{y}
quando (x,y)\to(0,0). O tema é limites em \mathbb{R}^2 e vamos usar a fatorização de \sin(xy) e o Teorema do Confronto (squeeze theorem).

Passo 2

Observe que, para y\neq0, podemos escrever
\frac{\sin(xy)}{y} =\;x\;\frac{\sin(xy)}{xy}.

Passo 3

Sabemos que para todo real t vale \bigl|\sin t\bigr|\le|t|, logo
\left|\frac{\sin(xy)}{y}\right| =\;|x|\;\left|\frac{\sin(xy)}{xy}\right| \le |x|\cdot1 =|x|.

Passo 4

Para mostrar \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0 use o fato de que \sqrt{x^2+y^2}<\delta implica |x|<\delta. Basta escolher \delta=\varepsilon. Então sempre que \sqrt{x^2+y^2}<\delta temos
\bigl|f(x,y)-0\bigr| =\left|\frac{\sin(xy)}{y}\right| \le |x| <\varepsilon.
Isso prova que o limite existe e é zero.

Resposta

0.

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