Questão 3: Suponha um sistema cuja função densidade de probabilidade é dada por
f(t)=\frac{6 A^{2} t}{(t+A)^{4}}

Responda:

  1. Qual é o intervalo dos possíveis valores para o parâmetro A ?
  2. Qual é a função de confiabilidade associada a esta f(t) ?
  3. Arbitre um valor para A dentro do intervalo que você especificou e desenhe o gráfico da função de risco.
  4. Explique o comportamento de \lim _{t \rightarrow \infty} h(t).

Passo 1

O enunciado apresenta uma variável contínua T\ge0 com densidade
f(t) \;=\;\frac{6A^{2}\,t}{(t+A)^{4}},
e pede:
  1. intervalo de valores de A para que f seja pdf;
  2. função de confiabilidade R(t)=\Pr(T>t);
  3. escolher um A no intervalo e desenhar a função de risco h(t);
  4. descrever \lim_{t\to\infty}h(t).

Passo 2

Para que f(t) seja não–negativa em t\ge0 basta A^{2}\ge0, mas para normalizar
\int_{0}^{\infty}f(t)\,dt =\int_{0}^{\infty}\frac{6A^{2}t}{(t+A)^{4}}\,dt =1
é preciso que A>0. Logo o parâmetro varia em A>0.

Passo 3

Calculamos
R(t)=\int_{t}^{\infty}f(u)\,du =\int_{t}^{\infty}\frac{6A^{2}u}{(u+A)^{4}}\,du.
Use a troca x=u+A, então u=x-A, du=dx e x vai de t+A a \infty.
R(t) =6A^{2}\int_{t+A}^{\infty}\frac{x-A}{x^{4}}\,dx =6A^{2}\Bigl[\,-\tfrac1{2x^{2}}+ \tfrac{A}{3x^{3}}\Bigr]_{x=t+A}^{\infty} =6A^{2}\Bigl(\tfrac1{2(t+A)^{2}}-\tfrac{A}{3(t+A)^{3}}\Bigr).
Colocando no mesmo denominador:
R(t) =\frac{6A^{2}}{6(t+A)^{3}}\bigl(3(t+A)-2A\bigr) =\frac{A^{2}(3t+A)}{(t+A)^{3}}.

Passo 4

A função de risco é
h(t)=\frac{f(t)}{R(t)} =\frac{\displaystyle\frac{6A^{2}t}{(t+A)^{4}}} {\displaystyle\frac{A^{2}(3t+A)}{(t+A)^{3}}} =\frac{6\,t}{(t+A)\,(3t+A)}.
Arbitrando A=1 para esboçar o gráfico dá
h(t)=\frac{6t}{(t+1)(3t+1)}.
Esse h(t) inicia em h(0)=0, cresce até um pico moderado e depois decai, aproximando–se de zero conforme t aumenta.

Passo 5

Para t\to\infty temos
h(t)\sim\frac{6\,t}{3\,t^{2}}=\frac{2}{t}\;\longrightarrow\;0.
Isto significa que, quanto mais longo o tempo sem falha, menor a taxa instantânea de falha à frente.

Resposta

  1. A>0.
  2. \displaystyle R(t)=\frac{A^{2}(3t+A)}{(t+A)^{3}}.
  3. Exemplo: para A=1,
    \displaystyle h(t)=\frac{6t}{(t+1)(3t+1)}, que cresce de zero, alcança um máximo e depois decai para zero.
  4. \displaystyle \lim_{t\to\infty}h(t)=0.

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