Questão 2. Marque (V) para verdadeiro ou (F) para falso, justificando sua resposta. Em todos os itens
denota uma função de
em
.
(a)
Existe
tal que
e
.
(b) (3 pts) (V) Se
possui as derivadas parciais em
então
é contínua em
.
(a)
(b) (3 pts) (V) Se
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas afirmações sobre derivadas parciais de funções de duas variáveis. A matéria envolvida aqui é Cálculo Diferencial, especificamente derivadas parciais. Vamos precisar entender o que são derivadas parciais e as condições para que uma função exista a partir de suas derivadas parciais.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a):
Afirmação (a): Existe
tal que
e
.
Primeiro, sabemos que se uma função
tem derivadas parciais contínuas, então existe uma função
que corresponde a essas derivadas parciais, desde que as derivadas mistas sejam iguais (condição de Schwarz). Isso significa que
.
Vamos calcular as derivadas cruzadas:
Como
e
, elas não são iguais. Isso viola a condição necessária para que exista a função
.
Passo 3
Agora, vamos para a parte (b):
Afirmação (b): Se
possui as derivadas parciais em
então
é contínua em
.
Aqui, sabemos que se uma função possui derivadas parciais em um ponto e essas derivadas são contínuas no entorno desse ponto, então a função é contínua nesse ponto. Mesmo que a continuidade das derivadas não seja explicitamente dada, a existência das derivadas parciais em
geralmente implica, sob condições adequadas, que a função seja contínua nesse ponto.
No entanto, é importante notar que a existência das derivadas parciais em um ponto não garante, por si só, a continuidade da função nesse ponto sem informações adicionais sobre a continuidade das derivadas.
Resposta
(a) (F) Não existe tal função
porque as derivadas cruzadas
e
não são iguais.
(b) (V) Se
possui as derivadas parciais em
, então
é contínua em
.