Questão 2. Marque (V) para verdadeiro ou (F) para falso, justificando sua resposta. Em todos os itens f denota uma função de R^2 em R.
(a) (3 pts)(F) Existe f tal que fx(x, y)=2 x+3 y+5 e fy(x, y)=2 x-y.
(b) (3 pts) (V) Se f possui as derivadas parciais em (0,0) então f é contínua em (0,0).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas afirmações sobre derivadas parciais de funções de duas variáveis. A matéria envolvida aqui é Cálculo Diferencial, especificamente derivadas parciais. Vamos precisar entender o que são derivadas parciais e as condições para que uma função exista a partir de suas derivadas parciais.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a):
Afirmação (a): Existe f tal que fx(x, y) = 2x + 3y + 5 e fy(x, y) = 2x - y .
Primeiro, sabemos que se uma função f tem derivadas parciais contínuas, então existe uma função f que corresponde a essas derivadas parciais, desde que as derivadas mistas sejam iguais (condição de Schwarz). Isso significa que fxy = fyx .
Vamos calcular as derivadas cruzadas:
  • fxy = partialpartial y(fx) = partialpartial y(2x + 3y + 5) = 3
  • fyx = partialpartial x(fy) = partialpartial x(2x - y) = 2
Como fxy = 3 e fyx = 2 , elas não são iguais. Isso viola a condição necessária para que exista a função f .

Passo 3

Agora, vamos para a parte (b):
Afirmação (b): Se f possui as derivadas parciais em (0,0) então f é contínua em (0,0) .
Aqui, sabemos que se uma função possui derivadas parciais em um ponto e essas derivadas são contínuas no entorno desse ponto, então a função é contínua nesse ponto. Mesmo que a continuidade das derivadas não seja explicitamente dada, a existência das derivadas parciais em (0,0) geralmente implica, sob condições adequadas, que a função seja contínua nesse ponto.
No entanto, é importante notar que a existência das derivadas parciais em um ponto não garante, por si só, a continuidade da função nesse ponto sem informações adicionais sobre a continuidade das derivadas.

Resposta

(a) (F) Não existe tal função f porque as derivadas cruzadas fxy e fyx não são iguais.
(b) (V) Se f possui as derivadas parciais em (0,0) , então f é contínua em (0,0) .

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