Questão 0.4. Verifique se os operadores lineares abaixo são diagonalizáveis: T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} tal que T(x, y, z)=(3 x+y-z, 2 x+2 y-z, 2 x+2 y)
e pede para verificar se T é diagonalizável. Como estamos em \mathbb{R}^3, basta achar os autovalores (e suas multiplicidades algébrica) e os autovetores (e suas multiplicidades geométrica) para comparar.
Passo 2
Vamos escrever a matriz de T na base canônica. Para (x,y,z) temos
que dá y=x\], \(z=2x. Um gerador é (1,1,2), ou seja, a multiplicidade geométrica é 1, embora a algébrica seja 2.
Passo 5
Para ser diagonalizável, a soma das multiplicidades geométricas deve ser 3 (o grau do polinômio característico), ou equivalentemente cada autovalor deve ter multiplicidade geométrica igual à algébrica. Aqui \lambda=2 tem multiplicidade algébrica 2 mas geométrica 1. Logo A (e portanto T) não é diagonalizável.