Questão 0.4. Verifique se os operadores lineares abaixo são diagonalizáveis:
T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} tal que T(x, y, z)=(3 x+y-z, 2 x+2 y-z, 2 x+2 y)

Passo 1

O enunciado dá um operador linear
T\colon \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3,\quad T(x,y,z) = (3x+y-z,\;2x+2y-z,\;2x+2y)
e pede para verificar se T é diagonalizável. Como estamos em \mathbb{R}^3, basta achar os autovalores (e suas multiplicidades algébrica) e os autovetores (e suas multiplicidades geométrica) para comparar.

Passo 2

Vamos escrever a matriz de T na base canônica. Para (x,y,z) temos
A = \begin{pmatrix} 3 & 1 & -1\\\\ 2 & 2 & -1\\\\ 2 & 2 & 0 \end{pmatrix}.
O passo seguinte é calcular o polinômio característico \chi_A(\lambda)=\det(A-\lambda I).

Passo 3

Calculamos
\chi_A(\lambda) =\det\!\begin{pmatrix} 3-\lambda & 1 & -1\\\\ 2 & 2-\lambda & -1\\\\ 2 & 2 & -\lambda \end{pmatrix} =\lambda^3 -5\lambda^2 +8\lambda -4.
Testando raízes inteiras, \lambda=1 anula o polinômio, e dividindo por \lambda-1 obtemos
\chi_A(\lambda)=(\lambda-1)(\lambda^2-4\lambda+4)=(\lambda-1)(\lambda-2)^2.
Logo os autovalores são \lambda_1=1 com multiplicidade algébrica 1 e \lambda_2=2 com multiplicidade algébrica 2.

Passo 4

Agora achamos as dimensões dos espaços próprios.
Para \lambda=1\), resolvemos \[(A-I)v=0 \;\Longrightarrow\; \begin{cases} 2x+y-z=0,\\\\ 2x+y-z=0,\\\\ 2x+2y-z=0, \end{cases}
que leva a y=0\], \[z=2x. Um gerador é (1,0,2), ou seja, a multiplicidade geométrica é 1.
Para \lambda=2, resolvemos
(A-2I)v=0 \;\Longrightarrow\; \begin{cases} x+y-z=0,\\\\ 2x-z=0,\\\\ 2x+2y-2z=0, \end{cases}
que dá y=x\], \(z=2x. Um gerador é (1,1,2), ou seja, a multiplicidade geométrica é 1, embora a algébrica seja 2.

Passo 5

Para ser diagonalizável, a soma das multiplicidades geométricas deve ser 3 (o grau do polinômio característico), ou equivalentemente cada autovalor deve ter multiplicidade geométrica igual à algébrica. Aqui \lambda=2 tem multiplicidade algébrica 2 mas geométrica 1. Logo A (e portanto T) não é diagonalizável.

Resposta

T não é diagonalizável.

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