Questão 0.4. Verifique se os operadores lineares abaixo são diagonalizáveis:
T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} tal que T(x, y)=(2 x+y, x+2 y)

Passo 1

O enunciado dá um operador linear T\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 definido por
T(x,y) = (2x+y,\;x+2y).
O conteúdo aqui é autovalores e autovetores de um operador em \mathbb{R}^2. Para verificar se T é diagonalizável, precisamos encontrar sua matriz em relação à base canônica, calcular o polinômio característico, achar os autovalores e, em seguida, verificar se existem dois autovetores linearmente independentes.

Passo 2

Em relação à base canônica \{(1,0),(0,1)\}, a matriz de T é
A = \begin{pmatrix}2 & 1\\[6pt]1 & 2\end{pmatrix}.
Para achar os autovalores, montamos o polinômio característico
\det(A - \lambda I) =\det\!\begin{pmatrix}2-\lambda & 1\\[3pt]1 & 2-\lambda\end{pmatrix} =(2-\lambda)^2 - 1.]

Passo 3

Expandindo o determinante, obtemos
(2-\lambda)^2 - 1 = \lambda^2 - 4\lambda + 4 - 1 = \lambda^2 - 4\lambda + 3.
Logo, o polinômio característico é
\lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0,
cuja fatoração é (\lambda -1)(\lambda -3)=0. Portanto, os autovalores são
\lambda_1 = 1, \quad \lambda_2 = 3.

Passo 4

Para \lambda_1 = 1, resolvemos (A - I)v = 0:
\begin{pmatrix}2-1 & 1\\[3pt]1 & 2-1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\[3pt]y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 1\\[3pt]1 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\[3pt]y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\[3pt]0\end{pmatrix}.
Daí x + y = 0, logo um autovetor é, por exemplo,
v_1 = (1,-1).
Para \lambda_2 = 3, resolvemos (A - 3I)v = 0:
\begin{pmatrix}2-3 & 1\\[3pt]1 & 2-3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\[3pt]y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 & 1\\[3pt]1 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\[3pt]y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\[3pt]0\end{pmatrix}.
Daí -x + y = 0, logo um autovetor é, por exemplo,
v_2 = (1,1).]

Passo 5

Verificamos que v_1 e v_2 são linearmente independentes (pois não são múltiplos um do outro) e formam, portanto, uma base de \mathbb{R}^2. Como encontramos dois autovetores linearmente independentes, concluímos que T é diagonalizável.

Resposta

O operador T é diagonalizável, com autovalores \lambda_1=1, \lambda_2=3 e base de autovetores \{(1,-1),(1,1)\}.

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