Questão 0.4. Verifique se os operadores lineares abaixo são diagonalizáveis:
tal que
Passo 1
O enunciado dá um operador linear
definido por
O conteúdo aqui é autovalores e autovetores de um operador em
. Para verificar se
é diagonalizável, precisamos encontrar sua matriz em relação à base canônica, calcular o polinômio característico, achar os autovalores e, em seguida, verificar se existem dois autovetores linearmente independentes.
Passo 2
Em relação à base canônica
, a matriz de
é
Para achar os autovalores, montamos o polinômio característico
Passo 3
Expandindo o determinante, obtemos
Logo, o polinômio característico é
cuja fatoração é
. Portanto, os autovalores são
Passo 4
Para
, resolvemos
:
Daí
, logo um autovetor é, por exemplo,
Para
, resolvemos
:
Daí
, logo um autovetor é, por exemplo,
Passo 5
Verificamos que
e
são linearmente independentes (pois não são múltiplos um do outro) e formam, portanto, uma base de
. Como encontramos dois autovetores linearmente independentes, concluímos que
é diagonalizável.
Resposta
O operador
é diagonalizável, com autovalores
,
e base de autovetores
.