Questão 0.3. Determine os autovalores e os autovetores (se existirem) dos seguintes operadores lineares:
T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} tal que T(x, y)=(-x, y+2 x)

Passo 1

O enunciado pede os autovalores e autovetores de T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 definida por
T(x,y)=(-x,\;y+2x).
O conteúdo é diagonalização de matriz 2\times2: vamos achar a matriz de T na base canônica, calcular seu polinômio característico para obter os autovalores e, em seguida, resolver (A-\lambda I)v=0 para cada \lambda.

Passo 2

Na base canônica \{(1,0),(0,1)\}, temos
T(1,0)=(-1,2),\qquad T(0,1)=(0,1),
logo a matriz de T é
A=\begin{pmatrix}-1 & 0\\[6pt]2 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 3

O polinômio característico de A é
\det(A-\lambda I) =\det\begin{pmatrix}-1-\lambda & 0\\[3pt]2 & 1-\lambda\end{pmatrix} =(-1-\lambda)(1-\lambda),
portanto os autovalores são
\lambda_1=-1 \quad\text{e}\quad \lambda_2=1.]

Passo 4

Para \lambda_1=-1 resolvemos
(A+I)v =\begin{pmatrix}0 & 0\\[3pt]2 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_1\v_2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix} \;\Longrightarrow\; 2v_1+2v_2=0 \;\Longrightarrow\; v_1=-v_2.
Um vetor próprio é, por exemplo, \bigl(-1,1\bigr) (escalares múltiplos dão todos os autovetores de \lambda_1).]

Passo 5

Para \lambda_2=1 resolvemos
(A-I)v =\begin{pmatrix}-2 & 0\\[3pt]2 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_1\v_2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix} \;\Longrightarrow\; -2v_1=0 \;\Longrightarrow\; v_1=0,
sem restrição em v_2. Um vetor próprio é, por exemplo, \bigl(0,1\bigr).]

Resposta

\lambda_1=-1, vetores próprios em \displaystyle\operatorname{span}\{(-1,1)\}.
\lambda_2=1, vetores próprios em \displaystyle\operatorname{span}\{(0,1)\}.

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