Questão 2. Verifique se os pares de funções abaixo são L.D. ou L.I.
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa verificar se as funções $ f(x) = \pi $ e $ g(x) = \cos^{2} x + \sin^{2} x $ são linearmente dependentes (L.D.) ou independentes (L.I.). Para isso, vamos usar o conceito de combinação linear das funções e ver se conseguimos encontrar constantes não nulas que atendam a essa condição.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função $ g(x) $. Sabemos que $ \cos^{2} x + \sin^{2} x = 1 $. Então, $ g(x) = 1 $.
Passo 3
Agora, precisamos verificar se existe uma combinação linear das funções $ f(x) $ e $ g(x) $ que resulte na função zero para todo $ x $. Isso significa que queremos encontrar constantes $ a $ e $ b $ tais que:
Substituindo as funções, ficamos com:
Passo 4
Resolvendo essa equação para $ a $ e $ b $, temos:
Isso mostra que para qualquer valor de $ a $, podemos encontrar um $ b $ correspondente que satisfaz a equação. Por exemplo, se escolhermos $ a = 1 $, então $ b = -\pi $.
Passo 5
Como encontramos constantes $ a $ e $ b $ não nulas que satisfazem a equação, isso significa que as funções $ f(x) $ e $ g(x) $ são linearmente dependentes.
Resposta
As funções $ f(x) = \pi $ e $ g(x) = \cos^{2} x + \sin^{2} x $ são linearmente dependentes.