Seja
a medida da área da região limitada inferiormente pelo eixo
, superiormente pela função
, à esquerda pela reta
e à direita pela reta
.
(d) Descreva a relação de ordem entre os valores obtidos acima e a integral que fornece a área
.
(d) Descreva a relação de ordem entre os valores obtidos acima e a integral que fornece a área
Passo 1
O enunciado pede para relacionar os valores aproximados obtidos nos itens anteriores (que usam somas de Riemann) com a área exata A = ∫₀²2ˣdx. O conteúdo aqui é Riemann para funções crescentes e a integral definida.
Passo 2
Para f(x)=2ˣ, que é crescente em [0,2], a soma de Riemann à esquerda subestima a área e a soma à direita superestima. Isso vem da definição: cada reta vertical em xᵢ usa f(xᵢ) menor (esquerda) ou maior (direita) que o valor real médio.
Passo 3
A área exata é dada por
Passo 4
Portanto, denotando Sₗ o valor obtido na soma à esquerda (item a) e Sᵣ o valor obtido na soma à direita (item b), a relação de ordem é
Resposta
Sₗ < A < Sᵣ, com A = 3/\ln2.