Seja A a medida da área da região limitada inferiormente pelo eixo x, superiormente pela função f(x)=2^x, à esquerda pela reta x=0 e à direita pela reta x=2.
(d) Descreva a relação de ordem entre os valores obtidos acima e a integral que fornece a área A.

Passo 1

O enunciado pede para relacionar os valores aproximados obtidos nos itens anteriores (que usam somas de Riemann) com a área exata A = ∫₀²2ˣdx. O conteúdo aqui é Riemann para funções crescentes e a integral definida.

Passo 2

Para f(x)=2ˣ, que é crescente em [0,2], a soma de Riemann à esquerda subestima a área e a soma à direita superestima. Isso vem da definição: cada reta vertical em xᵢ usa f(xᵢ) menor (esquerda) ou maior (direita) que o valor real médio.

Passo 3

A área exata é dada por
A=integral0^22^x,dx=l[2^xln2r]0^2=2^2-2^0ln2=4-1ln2=3ln2

Passo 4

Portanto, denotando Sₗ o valor obtido na soma à esquerda (item a) e Sᵣ o valor obtido na soma à direita (item b), a relação de ordem é
Sell

Resposta

Sₗ < A < Sᵣ, com A = 3/\ln2.

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