Questão 0.1. Verifique se as seguintes funções são transformações lineares:
T: R^2 R^2 ; T(x, y)=(x-y, x+y)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a aplicação
Tcolon R^2 to R^2, T(x,y) = (x - y,;x + y)
é uma transformação linear. Vamos usar a definição: T é linear se e somente se for aditiva e homogênea, isto é,
  1. T(u+v)=T(u)+T(v) para todo u,vinR^2.
  2. T(c,u)=c,T(u) para todo uinR^2 e todo escalar cinR.

Passo 2

Verificação da aditividade. Seja u=(x1,y1) e v=(x2,y2) em R^2. Então
u+v = (x1+x2,;y1+y2),
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T(u+v) = l((x1+x2)-(y1+y2),;(x1+x2)+(y1+y2)r) = l(x1-y1,;x1+y1r) +l(x2-y2,;x2+y2r)
Mas os somandos são exatamente T(u) e T(v). Portanto
T(u+v)=T(u)+T(v)

Passo 3

Verificação da homogeneidade. Seja u=(x,y) e cinR. Então
c,u = (c x,;c y),
e
T(c,u) = l(c x - c y,;c x + c yr) = c,(x-y,;x+y) = c,T(x,y)
Logo
T(c,u)=c,T(u)

Passo 4

Concluímos que T satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, logo é uma transformação linear.

Resposta

A função T(x,y)=(x-y,;x+y) é de fato uma transformação linear.

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