Questão 0.4. Verifique se as seguintes transformações lineares são isomorfismos:
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
e pede para verificar se é um isomorfismo.
Conteúdo: para ser isomorfismo em espaços de mesma dimensão finita basta mostrar que é invertível, o que acontece exatamente quando o determinante da matriz que a representa na base canônica é não nulo.
Passo 2
Vamos montar a matriz de na base canônica. Calculando as imagens dos vetores , e :
Então
onde as colunas são T(e1),T(e2),T(e3).
Passo 3
Calculamos o determinante de A por expansão na primeira linha: