Questão 0.4. Verifique se as seguintes transformações lineares são isomorfismos:
T: R^3 R^3 ; T(x, y, z)=(x-2 y, z, x+y)

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
Tcolon R^3 to R^3, T(x,y,z) = (,x - 2y,;z,;x + y,)
e pede para verificar se é um isomorfismo.
Conteúdo: para T ser isomorfismo em espaços de mesma dimensão finita basta mostrar que é invertível, o que acontece exatamente quando o determinante da matriz que a representa na base canônica é não nulo.

Passo 2

Vamos montar a matriz A de T na base canônica. Calculando as imagens dos vetores e1=(1,0,0), e2=(0,1,0) e e3=(0,0,1):
T(e1) = (1,0,1), T(e2) = (-2,0,1), T(e3) = (0,1,0)
Então
A = 1 & -2 & 0 0 & 0 & 1 1 & 1 & 0 ,
onde as colunas são T(e1),T(e2),T(e3).

Passo 3

Calculamos o determinante de A por expansão na primeira linha:
det(A) =1cdotdet0&11&0 -(-2)cdotdet0&11&0 +0cdotdet0&01&1
Agora
det0&11&0 =0cdot0 - 1cdot1 = -1,
então
det(A) = 1cdot(-1) -(-2)cdot(-1) = -1 - 2 = -3

Passo 4

Como det(A) = -3 neq 0, a matriz A é invertível. Logo T é invertível e, portanto, um isomorfismo de R^3 em R^3.

Resposta

T é um isomorfismo.

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