Questão 0.4. Verifique se as seguintes transformações lineares são isomorfismos:
T: R^2 R^2 ; T(x, y)=(x-y, x+y)

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
Tcolon R^2 to R^2, T(x,y) = (x - y,;x + y)
e pede para verificar se é um isomorfismo, ou seja, uma aplicação linear bijetora (injetiva e sobrejetiva).

Passo 2

Vamos escrever em coordenadas na base canônica como uma matriz . Para temos
pois

Passo 3

Calculemos o determinante de A:
det A = 1cdot 1 - (-1)cdot 1 = 2 neq 0
Como det Aneq0, A é inversível. Num espaço vetorial de dimensão finita, isso garante que T é bijetora (injetiva e sobrejetiva).

Passo 4

Como T é linear e sua matriz na base canônica é inversível, concluímos que T é um isomorfismo de R^2 em R^2.

Resposta

T é um isomorfismo.

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