Questão 0.4. Verifique se as seguintes transformações lineares são isomorfismos:
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
e pede para verificar se é um isomorfismo, ou seja, uma aplicação linear bijetora (injetiva e sobrejetiva).
Passo 2
Vamos escrever
em coordenadas na base canônica como uma matriz
. Para
temos
pois
Passo 3
Calculemos o determinante de
A :
Como
det Aneq0 ,
A é inversível. Num espaço vetorial de dimensão finita, isso garante que
T é bijetora (injetiva e sobrejetiva).
Passo 4
Como
T é linear e sua matriz na base canônica é inversível, concluímos que
T é um isomorfismo de
R^2 em
R^2 .