Questão 0.4. Verifique se as seguintes transformações lineares são isomorfismos:
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
e pede para verificar se é um isomorfismo. Em Álgebra Linear, um isomorfismo é uma aplicação linear que é bijetora (equivalente a ser injetora e sobrejetora). Para isso vamos analisar injetividade (checando o núcleo) ou usar o Teorema da Dimensão (Dimensão do núcleo + Dimensão da imagem = Dimensão do domínio).
Passo 2
Mostramos que
é linear observando que ela pode ser escrita como
onde
é uma matriz
. Como toda aplicação dada por multiplicação por matriz é linear,
é linear.]
Passo 3
Para checar injetividade, calculamos o núcleo de
O sistema equivale a
Da segunda equação vem e
, e
que é um subespaço de dimensão 2. Em particular
, ou seja,
não é injetora.
Passo 4
Como
é não trivial,
não é injetora. Logo
não pode ser bijetora e, portanto, não é um isomorfismo. Alternativamente, pelo Teorema da Dimensão,
implica nulidade positiva e ausência de inversa.