Questão 0.4. Verifique se as seguintes transformações lineares são isomorfismos:
T: R^4 R^2 ; T(x, y, z, w)=(x+y+2 z,-x+2 w)

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
T: R^4toR^2, T(x,y,z,w) = (,x+y+2z,,-x+2w,)
e pede para verificar se é um isomorfismo. Em Álgebra Linear, um isomorfismo é uma aplicação linear que é bijetora (equivalente a ser injetora e sobrejetora). Para isso vamos analisar injetividade (checando o núcleo) ou usar o Teorema da Dimensão (Dimensão do núcleo + Dimensão da imagem = Dimensão do domínio).

Passo 2

Mostramos que T é linear observando que ela pode ser escrita como
T(v) = A,v,
onde
A = 1 & 1 & 2 & 0 [6pt] -1 & 0 & 0 & 2
é uma matriz 2times4. Como toda aplicação dada por multiplicação por matriz é linear, T é linear.]

Passo 3

Para checar injetividade, calculamos o núcleo de
O sistema equivale a
Da segunda equação vem e , e
que é um subespaço de dimensão 2. Em particular , ou seja, não é injetora.

Passo 4

Como ker(T) é não trivial, T não é injetora. Logo T não pode ser bijetora e, portanto, não é um isomorfismo. Alternativamente, pelo Teorema da Dimensão,
dim(Im,T)<=2<4=dim(R^4)
implica nulidade positiva e ausência de inversa.

Resposta

T não é um isomorfismo.

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