Questão 0.5. Assinale verdadeiro ou falso, justificando sua resposta:
a) ()
b) ()
c) ()
d) ()
a) ()
b) ()
c) ()
d) ()
Passo 1
O enunciado pede para determinar se pares de espaços vetoriais sobre
são isomorfos, isto é, se existe um isomorfismo linear bijetivo entre eles. O conteúdo principal é o critério de isomorfismo via dimensão em espaços vetoriais de dimensão finita.
Passo 2
Em espaços vetoriais de dimensão finita, valem as seguintes afirmações equivalentes: \r
Dois espaços são isomorfos
têm a mesma dimensão. \r
A dimensão de
é
. \r
A dimensão de
, o espaço de matrizes
, é
. \r
A dimensão de
, o espaço de polinômios de grau
, é
.
Passo 3
Calculamos as dimensões de cada espaço que aparece: \r
Passo 4
Comparando dimensões para cada item: \r
a) tem dimensão
e
tem dimensão
, logo não são isomorfos
Falso. \r
b) tem dimensão
e
tem dimensão
, logo Falso. \r
c) tem dimensão
e
tem dimensão
, logo Falso. \r
d) tem dimensão
e
tem dimensão
, logo são isomorfos
Verdadeiro.
a)
b)
c)
d)
Resposta
a) Falso. \r
b) Falso. \r
c) Falso. \r
d) Verdadeiro.
b) Falso. \r
c) Falso. \r
d) Verdadeiro.