Questão 0.5. Assinale verdadeiro ou falso, justificando sua resposta:
a) () R^2 cong R^3
b) () M3(R) cong R^3
c) () M3(R) cong P3(R)
d) () M3(R) cong R^3^2

Passo 1

O enunciado pede para determinar se pares de espaços vetoriais sobre R são isomorfos, isto é, se existe um isomorfismo linear bijetivo entre eles. O conteúdo principal é o critério de isomorfismo via dimensão em espaços vetoriais de dimensão finita.

Passo 2

Em espaços vetoriais de dimensão finita, valem as seguintes afirmações equivalentes: \r
,* Dois espaços são isomorfos iff têm a mesma dimensão. \r
,* A dimensão de R^n é n. \r
,* A dimensão de Mm(R), o espaço de matrizes mtimes m, é m^2. \r
,* A dimensão de Pk(R), o espaço de polinômios de grau <= k, é k+1.

Passo 3

Calculamos as dimensões de cada espaço que aparece: \r
dim(R^2)=2 dim(R^3)=3 diml(M3(R)r)=3^2=9 diml(P3(R)r)=3+1=4 diml(R^3^2r)=3^2=9

Passo 4

Comparando dimensões para cada item: \r
a) R^2 tem dimensão 2 e R^3 tem dimensão 3, logo não são isomorfos to Falso. \r
b) M3(R) tem dimensão 9 e R^3 tem dimensão 3, logo Falso. \r
c) M3(R) tem dimensão 9 e P3(R) tem dimensão 4, logo Falso. \r
d) M3(R) tem dimensão 9 e R^3^2 tem dimensão 9, logo são isomorfos to Verdadeiro.

Resposta

a) Falso. \r
b) Falso. \r
c) Falso. \r
d) Verdadeiro.

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