Questão.
Verifique se a série abaixo converge ou diverge.
sumn=1^infty cossec(n3 n+2)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série
sumn=1^inftycossec!l(n3n+2r)
converge ou diverge. O conteúdo aqui é convergência de séries numéricas, e vamos usar o teste da divergência, que diz que se o termo geral não tende a zero, a série diverge.

Passo 2

Calcule o limite do argumento da função seno:
limntoinftyn3n+2 =limntoinfty13+tfrac2n =13

Passo 3

Como sin é contínua,
limntoinftysin!l(n3n+2r) =sin!l(13r)neq0
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limntoinftycossec!l(n3n+2r) =1sin(1/3)neq0

Passo 4

Pelo teste da divergência, como o termo geral não tende a zero, a série diverge.

Resposta

A série diverge, pois limntoinftycossecl(tfracn3n+2r)neq0.

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