Questão.
Verifique se a série abaixo converge ou diverge.
sumn=1^infty sen(12 n^3)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série
sumn=1^infty sen!l(tfrac12n^3r)
converge ou diverge. O conteúdo envolve testes de convergência para séries de termos positivos, e vamos usar o comportamento de sen x quando xto0 combinado com o teste da comparação.

Passo 2

Lembramos que, para todo x>=0, vale
sen x <= x
No nosso caso isso implica
sen!l(tfrac12n^3r)<= tfrac12n^3

Passo 3

Reconhecemos que a série
sumn=1^inftytfrac12n^3
é convergente, pois é uma série p-com p=3>1. Em efeito,
sumn=1^inftytfrac12n^3 =tfrac12sumn=1^inftytfrac1n^3<infty

Passo 4

Pelo teste de comparação direta, como
0<= sen!l(tfrac12n^3r)<= tfrac12n^3
e a série maiorante converge, concluímos que
sumn=1^inftysen!l(tfrac12n^3r)
também converge.

Resposta

A série sumn=1^infty sen!l(tfrac12n^3r) converge.

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