Seja z=f(x, y) definida implicitamente pela equação 2 x z^3-3 y z^2+x^2 y^2+4 z=0.
a) Calcule partial zpartial x(x, y) e partial zpartial y(x, y).
b) Calcule a equação do plano tangente à superfície z=f(x, y) no ponto (-1,1,1).

Passo 1

O enunciado dá a superfície z=f(x,y) definida implicitamente por
2x,z^3-3y,z^2+x^2y^2+4z=0
e pede:
a) as derivadas parciais partial zpartial x e partial zpartial y via diferenciação implícita;
b) a equação do plano tangente em (-1,1,1).
Vamos usar a regra da cadeia para diferenciar cada termo em relação a x e a y, e depois aplicar a fórmula do plano tangente
z-z0=zx(a,b),(x-a)+zy(a,b),(y-b)

Passo 2

Diferenciando a equação em relação a x e coletando zx:
partialpartial x(2x,z^3)=2z^3+6x,z^2,zx, partialpartial x(-3y,z^2)=-6y,z,zx,
partialpartial x(x^2y^2)=2x,y^2, partialpartial x(4z)=4,zx
Somando e igualando a zero:
(6x,z^2-6y,z+4),zx+2z^3+2x,y^2=0
zx=-2z^3+2x,y^26x,z^2-6y,z+4 =-z^3+x,y^23x,z^2-3y,z+2

Passo 3

Diferenciando em relação a y e coletando zy:
partialpartial y(2x,z^3)=6x,z^2,zy, partialpartial y(-3y,z^2)=-3z^2-6y,z,zy,
partialpartial y(x^2y^2)=2x^2,y, partialpartial y(4z)=4,zy
Somando e igualando a zero:
(6x,z^2-6y,z+4),zy-3z^2+2x^2,y=0
zy=3z^2-2x^2,y6x,z^2-6y,z+4 =3z^2-2x^2,y2,(3x,z^2-3y,z+2)

Passo 4

No ponto (x,y,z)=(-1,1,1) temos
3x,z^2-3y,z+2=3(-1)cdot1^2-3cdot1cdot1+2=-4, 6x,z^2-6y,z+4=2cdot(-4)=-8
Então
zx(-1,1)=-1+(-1)cdot1-4=0, zy(-1,1)=3cdot1-2cdot1cdot1-8=-18

Passo 5

A equação do plano tangente em (-1,1,1) é
z-1=zx(-1,1),(x+1)+zy(-1,1),(y-1)
Substituindo zx(-1,1)=0 e zy(-1,1)=-tfrac18 resulta
z-1=-18(y-1),
ou seja
z=1-18(y-1)

Resposta

(a)
zx=-z^3+x,y^23x,z^2-3y,z+2, zy=3z^2-2x^2,y2,(3x,z^2-3y,z+2)
(b)
z-1=-18(y-1)

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