Seja f: R X(R-0) R a função definida por f(x, y)=arctg xy. Calcule partial fpartial u(1,1), onde u aponta na direção e no sentido de maior crescimento da função f, partindo do ponto P(1,1).

Passo 1

O enunciado dá a função
definida em e pede a derivada direcional de no ponto na direção de maior crescimento.
Para isso precisamos do gradiente , pois a direção de maior crescimento é normalizada e a derivada nessa direção é o módulo de .

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais de f usando a regra da cadeia. Seja
z = xy, f(x,y)=arctan(z)
Então
partial fpartial x =11+z^2,partialpartial xl(xyr) =11+x^2y^2cdot1y =1/yy^2+x^2y^2 =yx^2+y^2,
partial fpartial y =11+z^2,partialpartial yl(xyr) =11+x^2y^2cdotl(-xy^2r) =-x/y^2y^2+x^2y^2 =-xx^2+y^2
Logo,
nabla f(x,y) =l(yx^2+y^2,;-xx^2+y^2r)

Passo 3

Avaliando em (1,1) temos
nabla f(1,1) =l(11^2+1^2,;-11^2+1^2r) =l(tfrac12,,-tfrac12r)

Passo 4

O módulo de nabla f(1,1) é
l|nabla f(1,1)r| =raizl(tfrac12r)^2+l(-tfrac12r)^2 =raiztfrac14+tfrac14 =raiztfrac12 =1raiz2
Como a derivada direcional no sentido de maior crescimento é exatamente |nabla f|, concluímos que partial fpartial vec u(1,1)=1/raiz2.

Resposta

partial fpartial vec u(1,1)=1raiz2

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