Questāo 1. Verifique, com justificativa, se cada série alternada abmixy converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge.
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\pi(\ln n)^{n}}\

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série alternada
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{\pi(\ln n)^{n}}
converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge.
O conteúdo aqui é teste de convergência de séries e, em particular, de convergência absoluta via comparação ou razão.

Passo 2

Analisamos a convergência absoluta, ou seja, a série
\sum_{n=2}^{\infty}\Bigl|\frac{(-1)^{n}}{\pi(\ln n)^{n}}\Bigr| =\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{\pi(\ln n)^{n}}.
Para n\ge3 temos \ln n\ge\ln3>1. Logo, para n\ge3,
\frac{1}{(\ln n)^{n}}\le\frac{1}{(\ln3)^{n}}.
Como \sum_{n=3}^\infty(\ln3)^{-n} é uma série geométrica de razão q=(\ln3)^{-1}<1, ela converge.
Portanto, pela comparação, \sum_{n=2}^\infty1/[\pi(\ln n)^{n}] converge.

Passo 3

Como a série dos valores absolutos converge, a série original converge absolutamente. Séries que convergem absolutamente também convergem (não há convergência apenas condicional).

Resposta

A série converge absolutamente.

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