Questāo 1. Verifique, com justificativa, se cada série alternada abmixy converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge. \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\pi(\ln n)^{n}}\
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a série alternada
converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge.
O conteúdo aqui é teste de convergência de séries e, em particular, de convergência absoluta via comparação ou razão.
Passo 2
Analisamos a convergência absoluta, ou seja, a série
Para n\ge3 temos \ln n\ge\ln3>1. Logo, para n\ge3,
\frac{1}{(\ln n)^{n}}\le\frac{1}{(\ln3)^{n}}.
Como \sum_{n=3}^\infty(\ln3)^{-n} é uma série geométrica de razão q=(\ln3)^{-1}<1, ela converge.
Portanto, pela comparação, \sum_{n=2}^\infty1/[\pi(\ln n)^{n}] converge.
Passo 3
Como a série dos valores absolutos converge, a série original converge absolutamente. Séries que convergem absolutamente também convergem (não há convergência apenas condicional).