Questão 4. Verifique se as séries abaixo convergem ou divergem. Explique que teste voce utilizous.
\sum_{n=2}^{\infty} \ln \left(\frac{5 n^{2}}{n^{3}-2 \pi}\right).

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série
\sum_{n=2}^{\infty} \ln\!\biggl(\frac{5n^{2}}{n^{3}-2\pi}\biggr).
Estamos em análise de séries numéricas e vamos usar o teste da divergência (teste do termo geral), que diz: se \lim_{n\to\infty}a_{n}\neq0, então a série \sum a_{n} diverge.

Passo 2

Escrevemos o termo geral
a_{n} = \ln\!\biggl(\frac{5n^{2}}{n^{3}-2\pi}\biggr) = \ln(5n^{2}) \;-\;\ln(n^{3}-2\pi) = \ln5 + 2\ln n \;-\;\ln\bigl[n^{3}(1-2\pi/n^{3})\bigr].
Agora separamos
\ln\bigl[n^{3}(1-2\pi/n^{3})\bigr] = \ln(n^{3}) + \ln\bigl(1-2\pi/n^{3}\bigr) = 3\ln n + \ln\bigl(1-2\pi/n^{3}\bigr).

Passo 3

Substituindo de volta,
a_{n} = \ln5 + 2\ln n \;-\;3\ln n \;-\;\ln\bigl(1-2\pi/n^{3}\bigr) = \ln5 - \ln n \;-\;\ln\bigl(1-2\pi/n^{3}\bigr).
Para n\to\infty temos \ln(1-2\pi/n^{3})\to0 e \ln n\to\infty, logo
\lim_{n\to\infty}a_{n} = \lim_{n\to\infty}\bigl(\ln5 - \ln n + o(1)\bigr) =-\infty\neq0.
Pelo teste da divergência, como o termo geral não tende a zero, a série diverge.

Resposta

A série diverge pelo teste do termo geral (divergência).

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