Questão 2. Responda se a afirmativa abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique.
O valor da soma da série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-2)^{n+1}}{5^{n}} é \frac{3}{7}

Passo 1

O enunciado pede para avaliar a veracidade da afirmação de que
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-2)^{n+1}}{5^{n}} = \frac{3}{7}.
O conteúdo aqui é soma de série geométrica infinita. Vamos usar a fórmula
\sum_{n=1}^{\infty} a\,r^{\,n-1} = \frac{a}{1-r},
válida quando \lvert r\rvert<1.

Passo 2

Reescrevemos o termo geral de forma que apareça claramente a razão r. Note que
\frac{(-2)^{n+1}}{5^n} =(-2)\,\frac{(-2)^n}{5^n} =(-2)\Bigl(\frac{-2}{5}\Bigr)^n.

Passo 3

Para usar a fórmula, identificamos o primeiro termo a da progressão geométrica na forma a\,r^{n-1} e a razão r. Aqui, equivalendo a
(-2)\Bigl(\tfrac{-2}{5}\Bigr)^n = \Bigl(\tfrac{4}{5}\Bigr)\Bigl(\tfrac{-2}{5}\Bigr)^{\,n-1},
vemos que
a = \frac{4}{5}, \quad r = -\frac{2}{5}.

Passo 4

Como \lvert r\rvert = \tfrac{2}{5}<1, a soma converge e vale
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-2)^{n+1}}{5^n} = \frac{a}{1-r} = \frac{\tfrac{4}{5}}{1 - \bigl(-\tfrac{2}{5}\bigr)} = \frac{\tfrac{4}{5}}{\tfrac{7}{5}} = \frac{4}{7}.

Passo 5

Comparando o valor obtido \tfrac{4}{7} com o \tfrac{3}{7} da afirmação, vemos que não coincidem.

Resposta

A afirmativa é falsa, pois a soma efetiva da série é \tfrac{4}{7}, e não \tfrac{3}{7}.

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