Questão 3. Determine, justificando, o intervalo de convergéncia da série de potências abaixco
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{(2 x-7)^{n}}{n 7^{n}}

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{(2x-7)^{n}}{n\,7^{n}}.
O conteúdo aqui é teste da razão para séries de potências e análise de convergência nos extremos do intervalo.

Passo 2

Aplicamos o teste da razão em módulo aos termos
a_{n} = (-1)^{n}\frac{(2x-7)^{n}}{n\,7^{n}}.
Calculamos
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{|2x-7|^{n+1}}{(n+1)7^{n+1}}\cdot\frac{n\,7^{n}}{|2x-7|^{n}} =\frac{|2x-7|}{7}\,\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1} =\frac{|2x-7|}{7}.
Para convergir, é preciso
\frac{|2x-7|}{7}<1.

Passo 3

Resolvendo a desigualdade
|2x-7|<7
temos
-7<2x-7<7 \quad\Longrightarrow\quad 0<2x<14 \quad\Longrightarrow\quad 0<x<7.
Logo a convergência é garantida em 0<x<7.

Passo 4

Testamos x=0:
2\cdot0-7=-7 \;\Longrightarrow\; \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{(-7)^{n}}{n\,7^{n}} =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n},
que é a série harmônica e diverge. Então x=0 não entra.

Passo 5

Testamos x=7:
2\cdot7-7=7 \;\Longrightarrow\; \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{7^{n}}{n\,7^{n}} =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n},
que é a série harmônica alternada, convergente por critério de Leibniz. Então x=7 entra.

Resposta

O intervalo de convergência é (0,7].

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