CALCULE A ÁREA EXATA ENTRE A CURVA Y=X^{2}, O EIXO DAS ABCISSAS EAS RETAS X=1 E X=3 USANDO SOMAS DE RIEMANN. CONSTRUA A SOLUÇÁO A PARTIR DA AREA DO iÉsimo RETÁNGULO.

Passo 1

O enunciado pede a área exata sob a curva y=x^2, entre as retas x=1 e x=3, e o eixo das abscissas, usando somas de Riemann. Para isso, vamos particionar o intervalo em n subintervalos, calcular a área do i-ésimo retângulo e depois tomar o limite quando n\to\infty.

Passo 2

Particionamos o intervalo [1,3] em n subintervalos iguais, logo
\Delta x = \frac{3-1}{n} = \frac{2}{n}.
Escolhemos como ponto de amostragem o extremo direito de cada subintervalo,
x_i = 1 + i\,\Delta x = 1 + \frac{2i}{n},
para i=1,2,\dots,n.

Passo 3

A área do i-ésimo retângulo é a base vezes a altura:
A_i = f(x_i)\,\Delta x = \bigl(x_i\bigr)^2\;\frac{2}{n} = \bigl(1 + \tfrac{2i}{n}\bigr)^2\;\frac{2}{n}.
A soma de Riemann usando pontos direitos fica
S_n = \sum_{i=1}^n A_i = \sum_{i=1}^n \bigl(1 + \tfrac{2i}{n}\bigr)^2 \frac{2}{n}.

Passo 4

Expandindo o quadrado,
\bigl(1 + \tfrac{2i}{n}\bigr)^2 = 1 + \tfrac{4i}{n} + \tfrac{4i^2}{n^2},
então
S_n = \sum_{i=1}^n \Bigl(1 + \tfrac{4i}{n} + \tfrac{4i^2}{n^2}\Bigr)\frac{2}{n} = \frac{2}{n}\sum_{i=1}^n1 + \frac{8}{n^2}\sum_{i=1}^n i + \frac{8}{n^3}\sum_{i=1}^n i^2.

Passo 5

Aplicando as somas conhecidas
\sum_{i=1}^n 1 = n,\quad \sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2},\quad \sum_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6},
obtemos
S_n = \frac{2}{n}\,n + \frac{8}{n^2}\,\frac{n(n+1)}{2} + \frac{8}{n^3}\,\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.

Passo 6

Simplificando cada termo:
\frac{2}{n}\,n = 2,\quad \frac{8}{n^2}\,\frac{n(n+1)}{2} = \frac{4(n+1)}{n},\quad \frac{8}{n^3}\,\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{4(n+1)(2n+1)}{3n^2}.
Logo
S_n = 2 + \frac{4(n+1)}{n} + \frac{4(n+1)(2n+1)}{3n^2} = \frac{26n^2 + 24n + 4}{3n^2}.

Passo 7

Tomando o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}S_n = \lim_{n\to\infty}\frac{26n^2 + 24n + 4}{3n^2} = \frac{26}{3}.

Resposta

A área exata sob a curva y=x^2 de x=1 até x=3 é \frac{26}{3}.

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