CALCULE A ÁREA EXATA ENTRE A CURVA
, O EIXO DAS ABCISSAS EAS RETAS
E
USANDO SOMAS DE RIEMANN. CONSTRUA A SOLUÇÁO A PARTIR DA AREA DO iÉsimo RETÁNGULO.
Passo 1
O enunciado pede a área exata sob a curva
, entre as retas
e
, e o eixo das abscissas, usando somas de Riemann. Para isso, vamos particionar o intervalo em
subintervalos, calcular a área do
-ésimo retângulo e depois tomar o limite quando
.
Passo 2
Particionamos o intervalo
em
subintervalos iguais, logo
Escolhemos como ponto de amostragem o extremo direito de cada subintervalo,
para
.
Passo 3
A área do
-ésimo retângulo é a base vezes a altura:
A soma de Riemann usando pontos direitos fica
Passo 4
Expandindo o quadrado,
então
Passo 5
Aplicando as somas conhecidas
obtemos
Passo 6
Simplificando cada termo:
Logo
Passo 7
Tomando o limite quando
:
Resposta
A área exata sob a curva
de
até
é
.