Questão 2 Verifique se os subconjuntos W abaixo são subspaços vetoriais de V. Caso afirmativo, determine uma base (se não houver base, apenas diga “não há base”). Caso negativo dê um contra-exemplo ou justifique. Sua justificativa deve ter no máximo duas linhas.
V=M3 times 1(R), W=X in V ; A X=0, com
A=(ccc 1 & 3 & -1 2 & -2 & 0 1 & -2 & 1 )

Passo 1

O enunciado define
V=M3times1(R)simeqR^3,
e
W=Xin Vmid A X=0,
com
A= 1 & 3 & -1 2 & -2 & 0 1 & -2 & 1
Estamos verificando se W é subespaço (é o núcleo de uma transformação linear) e, em caso afirmativo, encontrando uma base de W.

Passo 2

Como W=ker(A), ele contém 0 e é fechado em soma e multiplicação escalar, logo é subespaço vetorial de V.

Passo 3

Para achar
ou seja
Da segunda equação vem . Na terceira fica , logo . Assim e .

Passo 4

A única solução é X=(0,0,0)^T, isto é,
W=0
O subespaço nulo tem dimensão zero e sua única base é o conjunto vazio.

Resposta

W é subespaço vetorial e sua base é o conjunto vazio.

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