Questão 1 Verifique se os subconjuntos W abaixo são subspaços vetoriais de V. Caso afirmativo, determine uma base (se não houver base, apenas diga “não há base”). Caso negativo dê um contra-exemplo ou justifique. Sua justificativa deve ter no máximo duas linhas.
V=R^2, W=(x, y) in V ; x+3 y=0

Passo 1

O enunciado pede verificar se W=(x,y)inR^2:x+3y=0 é subespaço de V=R^2 e, em caso afirmativo, encontrar uma base. Vamos usar o teste de subespaço (contém o zero, fechado em soma e em multiplicação por escalar) e parametrizar W.

Passo 2

Como W=ker f com f(x,y)=x+3y linear, temos f(0,0)=0 e
f((x1,y1)+(x2,y2))=f(x1,y1)+f(x2,y2), f(kx,ky)=k,f(x,y),
logo 0in W e W é fechado em soma e em escalar, portanto é subespaço.

Passo 3

Da equação x+3y=0 vem x=-3y, então
(x,y)=y(-3,1).
Assim
W=span(-3,1)
e (-3,1) é uma base de W.

Resposta

Sim, W é subespaço vetorial de R^2.
Uma base de W é (-3,1).

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