Questão 2 Verifique se os subconjuntos W abaixo são subspaços vetoriais de V. Caso afirmativo, determine uma base (se não houver base, apenas diga “não há base”). Caso negativo dê um contra-exemplo ou justifique. Sua justificativa deve ter no máximo duas linhas.
V=R^3, W=(x, y, z) in V ; e^x=e^y.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
W = (x,y,z)inR^3 mid e^x=e^y
é subespaço vetorial de R^3 e, em caso afirmativo, determinar uma base. Vamos usar o fato de que subespaço exige fechar em soma e multiplicação por escalar e caracterizar W.

Passo 2

Como a função xmapsto e^x é injetora em R, temos
e^x=e^yimplies x=y
Logo
W=(x,x,z)mid x,zinR

Passo 3

Para mostrar que W é subespaço, seja (t,t,z),(s,s,w)in W e alphainR. Então
(t,t,z)+(s,s,w)=(t+s,t+s,z+w)in W
e
alpha,(t,t,z)=(alpha t,alpha t,alpha z)in W
Logo W é fechado em soma e em produto por escalar, isto é, é subespaço.

Passo 4

Como todo (x,x,z)in W pode ser escrito como
(x,x,z)=x,(1,1,0)+z,(0,0,1),
vemos que uma base de W é
(1,1,0),,(0,0,1)

Resposta

W é subespaço vetorial de R^3 e uma base é (1,1,0),,(0,0,1).

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