Questão 6
Os vetores u=(2,-1,-3), v=(-1,1,-4) e w=(m, 0, m) determinam um paralelepípedo de volume 48.

Passo 1

O enunciado dá os vetores
u=(2,-1,-3), v=(-1,1,-4), w=(m,0,m)
e pede o valor de m para que o volume do paralelepípedo seja 48.
O volume é dado pelo valor absoluto do produto misto:
V = l|,ucdot(vtimes w)r|

Passo 2

Vamos calcular primeiro o produto vetorial vtimes w usando determinante:
vtimes w = i & j & k -1 & 1 & -4 m & 0 & m = i,(1cdot m - (-4)cdot 0) - j,l((-1)cdot m - (-4)cdot mr) + k,l((-1)cdot 0 - 1cdot mr)
Isso dá
vtimes w = (m,;-3m,;-m)

Passo 3

Agora o produto escalar ucdot(vtimes w):
ucdot(vtimes w) = (2,-1,-3)cdot(m,-3m,-m) = 2m + (-1)(-3m) + (-3)(-m) = 2m + 3m + 3m = 8m

Passo 4

Impondo o módulo desse valor igual a 48,
l|8mr| = 48 Longrightarrow |m| = 6 Longrightarrow m = 6 ou m = -6

Resposta

m = 6 ou m = -6

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