Nos exercícios de 2 a 5, considere os vetores
u=2 imath-jmath+2 k, v=5 imath+5 jmath-2 k e
w=3 imath+6 jmath
Verifique se os vetores são L.D. em cada item abaixo:
u, v e w são L.D.

Passo 1

O enunciado dá três vetores em R^3:
u = (2,,-1,,2), v = (5,,5,,-2), w = (3,,6,,0),
e pergunta se eles são linearmente dependentes (L.D.).
Conteúdo: para vetores em R^3, usamos o fato de que três vetores são L.D. se, e somente se, o determinante da matriz que tem esses vetores como colunas for zero.

Passo 2

Montamos a matriz cujas colunas são u,v,w:
A = 2 & 5 & 3 -1 & 5 & 6 2 & -2 & 0
Os vetores são L.D. exatamente quando det(A)=0.

Passo 3

Vamos calcular det(A) pela expansão na primeira linha:
det(A) =25 & 6-2 & 0 -5-1 & 62 & 0 +3-1 & 52 & -2
Calculemos cada menor:
5 & 6-2 & 0 =5cdot 0 - 6cdot(-2)=12,
-1 & 62 & 0 =(-1)cdot 0 - 6cdot 2=-12,
-1 & 52 & -2 =(-1)cdot(-2) - 5cdot 2=2-10=-8
Portanto,
det(A) =2cdot 12 ;-;5cdot(-12);+;3cdot(-8) =24 +60 -24 =60

Resposta

Como det(A)=60neq 0, os vetores não são linearmente dependentes. Eles são linearmente independentes.

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