3.6.4 O Foco e a Diretriz de uma Cônica

No Exercício 2 da Seção 3.5 consideramos a reta l: x=2 e o ponto F(-1,0) e vimos que a equação
|F P|=e cdot dist(P ; l)
descreve: uma parábola, quando e=1; uma elipse, quando e=1 / 2; e uma hipérbole, quando e=2.
De forma geral, dados uma reta l, denominada (Diretriz), um ponto F fora da reta l, denominado (Foco), o lugar geométrico dos pontos P(x, y) que satisfazem a equação (3.4) representa:
(a) uma parábola, se e=1;
(b) uma elipse, se 0<e<1;
(c) uma hipérbole, se e>1.

Passo 1

O enunciado define a cônica como o lugar dos pontos P(x,y) que satisfazem
|F P| = e ,dist(P; l),
onde F(-1,0) é o foco, lcolon x=2 é a diretriz, e e>0 é a constante chamada excentricidade. Nosso objetivo é escrever essa relação em forma de equação geral de segundo grau e, a partir dos coeficientes, usar o discriminante
De<a = B^2 - 4AC
para classificar a curva em parábola, elipse ou hipérbole.

Passo 2

Expressamos cada distância. Para F(-1,0):
|F P| = raiz(x - (-1))^2 + (y-0)^2 = raiz(x+1)^2 + y^2
Para a reta x=2:
dist(P; l) = |x-2|raiz1^2 = |x-2|
Logo a equação da cônica fica
raiz(x+1)^2 + y^2 ;=; e,|x-2|

Passo 3

Elevamos ao quadrado para eliminar a raiz e o valor absoluto:
(x+1)^2 + y^2 = e^2,(x-2)^2
Expandindo ambos os lados:
x^2 + 2x +1 + y^2 ;=; e^2(x^2 - 4x +4)
Reagrupando tudo à esquerda:
x^2 + 2x +1 + y^2 - e^2x^2 +4e^2x -4e^2 = 0
l(1-e^2r)x^2 + (2+4e^2),x + y^2 + (1-4e^2) = 0

Passo 4

Identificamos a forma geral
A x^2 + B xy + C y^2 + D x + E y + F = 0
no nosso caso B=0, A = 1-e^2, C=1. O discriminante é
De<a = B^2 - 4AC = 0^2 - 4(1-e^2)(1) = -4,(1-e^2)

Passo 5

Da teoria de cônicas sabemos que
  • se De<a=0 a curva é uma parábola;
  • se De<a<0 a curva é uma elipse;
  • se De<a>0 a curva é uma hipérbole.
Como
De<a = -4,(1-e^2),
temos:
  • quando e=1, 1-e^2=0 e De<a=0 Rightarrow parábola;
  • quando 0<e<1, 1-e^2>0 e De<a<0 Rightarrow elipse;
  • quando e>1, 1-e^2<0 e De<a>0 Rightarrow hipérbole.

Resposta

(a) parábola se e=1
(b) elipse se 0<e<1
(c) hipérbole se e>1

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