Questão 6. Se o volume de uma bolinha de naftalina diminui, por evaporação, a uma taxa proporcional à área de sua superfície, mostre que o raio decresce a uma taxa constante.
Passo 1
O enunciado diz que uma bolinha de naftalina, modelada como esfera de raio
, tem seu volume diminuindo a uma taxa proporcional à área de sua superfície. O conteúdo é de equações diferenciais e taxas relacionadas, e vamos usar as fórmulas de volume e área de uma esfera e a regra da cadeia para derivar.
Passo 2
Lembrando as fórmulas clássicas para uma esfera de raio
:
Passo 3
A condição de proporcionalidade diz que
onde
é a constante de proporcionalidade e o sinal negativo indica que o volume está diminuindo.
Passo 4
Por outro lado, ao derivar o volume em relação ao tempo usando regra da cadeia, temos
Igualando as duas expressões:
e simplificando
, obtemos
Passo 5
Vimos que
é uma constante (pois
é constante), ou seja, o raio decresce a uma taxa constante.