Questão 6. Se o volume de uma bolinha de naftalina diminui, por evaporação, a uma taxa proporcional à área de sua superfície, mostre que o raio decresce a uma taxa constante.

Passo 1

O enunciado diz que uma bolinha de naftalina, modelada como esfera de raio !r(t), tem seu volume diminuindo a uma taxa proporcional à área de sua superfície. O conteúdo é de equações diferenciais e taxas relacionadas, e vamos usar as fórmulas de volume e área de uma esfera e a regra da cadeia para derivar.

Passo 2

Lembrando as fórmulas clássicas para uma esfera de raio r:
V = 43pi r^3
A = 4pi r^2

Passo 3

A condição de proporcionalidade diz que
dVdt = -k,A
onde k>0 é a constante de proporcionalidade e o sinal negativo indica que o volume está diminuindo.

Passo 4

Por outro lado, ao derivar o volume em relação ao tempo usando regra da cadeia, temos
dVdt = 4pi r^2 ,drdt
Igualando as duas expressões:
4pi r^2 ,drdt ;=;-kcdot4pi r^2
e simplificando 4pi r^2neq0, obtemos
drdt = -k

Passo 5

Vimos que drdt=-k é uma constante (pois k é constante), ou seja, o raio decresce a uma taxa constante.

Resposta

drdt = -k

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