Utilize a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.
z=x^2+x y^3, x=u v^2+w^3, y=u+v e^2; partial zpartial u, partial zpartial v, partial zpartial w quando u=2, v=1, w=0

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos usar a regra da cadeia para calcular
partial zpartial u,;partial zpartial v,;partial zpartial w
onde
z = f(x,y)=x^2+x,y^3, x = u,v^2+w^3, y = u + v,e^2
O conteúdo necessário é a regra da cadeia para funções compostas.

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas parciais de f(x,y) em relação a x e a y:
fx = partial zpartial x = 2x + y^3,
fy = partial zpartial y = 3x,y^2

Passo 3

Em seguida, obtemos as derivadas de x e y em relação a u,v,w:
partial xpartial u = v^2, partial xpartial v = 2,u,v, partial xpartial w = 3,w^2,
partial ypartial u = 1, partial ypartial v = e^2, partial ypartial w = 0

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia, temos as expressões gerais:
partial zpartial u = fx,partial xpartial u + fy,partial ypartial u,
partial zpartial v = fx,partial xpartial v + fy,partial ypartial v,
partial zpartial w = fx,partial xpartial w + fy,partial ypartial w

Passo 5

Agora avaliamos em u=2,;v=1,;w=0. Primeiro encontramos
x = 2cdot1^2 + 0^3 = 2, y = 2 + 1cdot e^2 = 2 + e^2
Logo
fx = 2x + y^3 = 4 + (2+e^2)^3,
fy = 3x,y^2 = 6,(2+e^2)^2
Substituindo em cada fórmula:
partial zpartial u = l[4+(2+e^2)^3r]cdot1^2 + 6(2+e^2)^2cdot1 = 4 + (2+e^2)^3 + 6,(2+e^2)^2,
partial zpartial v = l[4+(2+e^2)^3r]cdot(2cdot2cdot1) + 6(2+e^2)^2cdot e^2 = 4l[4+(2+e^2)^3r] + 6,e^2(2+e^2)^2,
partial zpartial w = l[4+(2+e^2)^3r]cdot0 + 6(2+e^2)^2cdot0 = 0

Resposta

partial zpartial u = 4 + (2+e^2)^3 + 6,(2+e^2)^2,
partial zpartial v = 4l[4+(2+e^2)^3r] + 6,e^2(2+e^2)^2,
partial zpartial w = 0

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