5 Resolva os PVIs
(t+x+3) d t+d x=0, x(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial (PVI)\r
(t+x+3),dt + dx = 0, x(0)=1\r
Este é um problema de EDO de primeira ordem, linear em x. Vamos reescrevê-la e usar o método do fator integrante para resolvê-la.

Passo 2

Reescrevendo em forma explícita de derivada,\r
dx + (t + x + 3),dt = 0
Longrightarrow dxdt + x = -,t - 3 \r
Aqui temos uma EDO linear do tipo dxdt + P(t),x = Q(t) com P(t)=1 e Q(t)=-t-3.

Passo 3

O fator integrante é\r
mu(t) = e^integral P(t),dt = e^integral 1,dt = e^t \r
Multiplicando a equação original por mu(t),\r
e^tdxdt + e^t x = e^t(-t - 3) \r
que é equivalente a\r
ddtl(x,e^tr) = -,t,e^t - 3,e^t \r
Integrando ambos os lados em relação a t,\r
x,e^t = integrall(-t,e^tr),dt ;-; 3integral e^t,dt

Passo 4

Calculando as integrais por partes e diretas,\r
integral -t,e^t,dt = -t,e^t + integral e^t,dt = -t,e^t + e^t = e^t(1 - t),
-3integral e^t,dt = -3,e^t \r
Logo,\r
x,e^t = e^t(1 - t) - 3,e^t + C = e^t(-t - 2) + C, \r
ou seja\r
x(t) = -,t - 2 + C,e^-t

Passo 5

Usando a condição inicial x(0)=1,\r
1 = -0 - 2 + C,e^0 ;Longrightarrow; C = 3 \r
Portanto a solução do PVI é\r
x(t) = -,t - 2 + 3,e^-t

Resposta

x(t) = 3,e^-t - t - 2

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