Exercício 3 [25 pontos]: Use o teorema de Gauss para calcular a integral \iint_{S} \boldsymbol{F} \cdot d \boldsymbol{S}, onde \boldsymbol{F}(x, y, z)=\left(x y^{2}, x^{2} y, y\right) e S é a superfície do sólido limitado pelo cilindro x^{2}+y^{2}=1 e pelos planos z=-1 e z=1, com a normal a S apontando para fora do sólido.

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • O campo vetorial \boldsymbol{F}(x,y,z)=\left(x y^{2},\, x^{2} y,\, y\right).
  • A superfície S é a superfície do sólido V limitado pelo cilindro \;x^{2}+y^{2}=1\; e pelos planos \;z=-1\; e \;z=1\;. Ou seja, V=\{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}\le 1,\\\ -1\le z\le 1\}.
  • A normal em S aponta para fora do sólido (normal externa).
    O que se pede:
  • Calcular a integral de fluxo \displaystyle \iint_{S} \boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{S}.

Passo 2

Escolha do método (explicando o porquê): como S é a superfície que fecha um sólido V (é uma superfície fechada), usar o Teorema da Divergência (ou Teorema de Gauss) é a opção mais simples. Em palavras: em vez de calcular o fluxo através das três partes da superfície (a casca lateral do cilindro mais as duas tampas), podemos transformar a integral de superfície fechada numa integral tripla sobre o volume interior.
Enunciado do Teorema da Divergência (em forma prática que vamos usar):
\iint_{S}\boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{S}=\iiint_{V}\nabla\!\cdot\!\boldsymbol{F}\,dV,
onde \nabla\!\cdot\!\boldsymbol{F} é a divergência de \boldsymbol{F}. Aqui \boldsymbol{F} e S satisfazem as hipóteses usuais para aplicar o teorema (campo com derivadas contínuas e superfície fechada).

Passo 3

Cálculo da divergência \nabla\!\cdot\!\boldsymbol{F}.
Definição: para \boldsymbol{F}=(F_1,F_2,F_3),
\nabla\!\cdot\!\boldsymbol{F}=\frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y}+\frac{\partial F_3}{\partial z}.
No nosso caso F_1(x,y,z)=x y^{2}, F_2(x,y,z)=x^{2}y, F_3(x,y,z)=y. Calculando termo a termo:
\frac{\partial F_1}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x y^{2})=y^{2},
\frac{\partial F_2}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(x^{2}y)=x^{2},
\frac{\partial F_3}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(y)=0\quad(\text{pois }y\text{ não depende de }z).ã
Somando,
\nabla\!\cdot\!\boldsymbol{F}=y^{2}+x^{2}=x^{2}+y^{2}.

Passo 4

Aplicando o Teorema da Divergência e escolhendo coordenadas convenientes.
Pelo teorema:
\iint_{S}\boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{S}=\iiint_{V}(x^{2}+y^{2})\,dV.
Como V é um cilindro circular de raio 1 com -1\le z\le 1, coordenadas cilíndricas são ideais. Em coordenadas cilíndricas usamos
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad z=z,
e o elemento de volume é dV=r\,dr\,d\theta\,dz. Além disso,
x^{2}+y^{2}=r^{2}.
Os limites são \;0\le r\le 1,\; 0\le\theta\le 2\pi,\; -1\le z\le 1.
Portanto a integral vira
\iiint_{V}(x^{2}+y^{2})\,dV =\int_{z=-1}^{1}\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{1} r^{2}\cdot r\,dr\,d\theta\,dz =\int_{-1}^{1}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} r^{3}\,dr\,d\theta\,dz.

Passo 5

Cálculo explícito da integral (passo a passo, sem pular contas).
Primeiro integrar em r:
\int_{0}^{1} r^{3}\,dr=\left[\frac{r^{4}}{4}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{4}.
Agora integrar em \theta:
\int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi.
Agora integrar em z:
\int_{-1}^{1} dz = 2.
Multiplicando os resultados (ordem de integração separável):
\iiint_{V}(x^{2}+y^{2})\,dV = \left(\int_{-1}^{1}dz\right)\left(\int_{0}^{2\pi}d\theta\right)\left(\int_{0}^{1}r^{3}dr\right) = 2\cdot 2\pi\cdot \frac{1}{4}.
Fazendo as contas:
2\cdot 2\pi\cdot \frac{1}{4}=\frac{4\pi}{4}=\pi.

Passo 6

Verificação do sinal: o Teorema da Divergência usa a normal exterior por definição, e o enunciado pediu a normal apontando para fora, então não é necessário ajustar sinal. O resultado final obtido \pi corresponde ao fluxo pedido.

Resposta

\pi

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