Exercício 3 [25 pontos]: Use o teorema de Gauss para calcular a integral
, onde
e
é a superfície do sólido limitado pelo cilindro
e pelos planos
e
, com a normal a
apontando para fora do sólido.
Passo 1
O enunciado nos dá:
- O campo vetorial
. - A superfície
é a superfície do sólido limitado pelo cilindro e pelos planos e . Ou seja, . - A normal em
aponta para fora do sólido (normal externa).
O que se pede: - Calcular a integral de fluxo
.
Passo 2
Escolha do método (explicando o porquê): como
é a superfície que fecha um sólido
(é uma superfície fechada), usar o Teorema da Divergência (ou Teorema de Gauss) é a opção mais simples. Em palavras: em vez de calcular o fluxo através das três partes da superfície (a casca lateral do cilindro mais as duas tampas), podemos transformar a integral de superfície fechada numa integral tripla sobre o volume interior.
Enunciado do Teorema da Divergência (em forma prática que vamos usar):
onde
é a divergência de
. Aqui
e
satisfazem as hipóteses usuais para aplicar o teorema (campo com derivadas contínuas e superfície fechada).
Passo 3
Cálculo da divergência
.
Definição: para
,
No nosso caso
,
,
. Calculando termo a termo:
Somando,
Passo 4
Aplicando o Teorema da Divergência e escolhendo coordenadas convenientes.
Pelo teorema:
Como
é um cilindro circular de raio
com
, coordenadas cilíndricas são ideais. Em coordenadas cilíndricas usamos
e o elemento de volume é
. Além disso,
Os limites são
Portanto a integral vira
Passo 5
Cálculo explícito da integral (passo a passo, sem pular contas).
Primeiro integrar em
:
Agora integrar em
:
Agora integrar em
:
Multiplicando os resultados (ordem de integração separável):
Fazendo as contas:
Passo 6
Verificação do sinal: o Teorema da Divergência usa a normal exterior por definição, e o enunciado pediu a normal apontando para fora, então não é necessário ajustar sinal. O resultado final obtido
corresponde ao fluxo pedido.