Questão1:
Calcule o determinante:
\left| \begin{array}{rrrr}1 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & -2 & 1 \\ 1 & -1 & 2 & -1 \\ 1 & 3 & 3 & -\frac{3}{5}\end{array}\right|

Passo 1

O enunciado pede o determinante da matriz A\in\mathbb{R}^{4\times4} definida por
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\[6pt] 1 & 1 & -2 & 1 \\[6pt] 1 & -1 & 2 & -1 \\[6pt] 1 & 3 & 3 & -\tfrac{3}{5} \end{pmatrix}.
O conteúdo envolvido é cálculo de determinante usando operações elementares de linha e expansão por cofatores.]

Passo 2

Para simplificar, subtraímos a primeira linha de cada uma das outras, sem alterar o valor do determinante:
L_2' = L_2 - L_1,\quad L_3' = L_3 - L_1,\quad L_4' = L_4 - L_1.
Isso produz a matriz equivalente
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\[3pt] 0 & -1 & -3 & 1 \\[3pt] 0 & -3 & 1 & -1 \\[3pt] 0 & 1 & 2 & -\tfrac{3}{5} \end{pmatrix}.]

Passo 3

Agora expandimos o determinante pela primeira coluna. Como só o elemento \;(1,1) é não nulo, temos
\det A = 1 \;\times\; \det\begin{pmatrix} -1 & -3 & 1 \\[3pt] -3 & 1 & -1 \\[3pt] 1 & 2 & -\tfrac{3}{5} \end{pmatrix}.]

Passo 4

Chamando essa submatriz de B, calculamos
\det B = -1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & -1\\\ 2 & -\tfrac{3}{5}\end{pmatrix} -(-3)\cdot\det\begin{pmatrix}-3 & -1\\\ 1 & -\tfrac{3}{5}\end{pmatrix} +1\cdot\det\begin{pmatrix}-3 & 1\\\ 1 & 2\end{pmatrix}.
Cada menor dá
\det\begin{pmatrix}1 & -1\\\ 2 & -\tfrac{3}{5}\end{pmatrix} = 1\cdot\Bigl(-\tfrac{3}{5}\Bigr)-(-1)\cdot2 = -\tfrac{3}{5}+2 = \tfrac{7}{5},
\det\begin{pmatrix}-3 & -1\\\ 1 & -\tfrac{3}{5}\end{pmatrix} = (-3)\cdot\Bigl(-\tfrac{3}{5}\Bigr)-(-1)\cdot1 = \tfrac{9}{5}+1 = \tfrac{14}{5},
\det\begin{pmatrix}-3 & 1\\\ 1 & 2\end{pmatrix} = (-3)\cdot2 - 1\cdot1 = -6 -1 = -7.
Substituindo,
\det B = -1\cdot\tfrac{7}{5} +3\cdot\tfrac{14}{5} +1\cdot(-7) = -\tfrac{7}{5} + \tfrac{42}{5} -7 = \tfrac{35}{5} -7 = 7-7 = 0.

Resposta

0

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