Questão1:
Calcule o determinante:
\left| \begin{array}{llll}1 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 3 & 1 \\ 3 & 4 & 2 & 2\end{array}\right|

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do determinante de uma matriz 4\times4. O conteúdo aplicado é determinantes de matrizes e uso de operações elementares de linha para simplificar o cálculo. Vamos triangularizar a matriz usando operações que não alteram o determinante e depois extrair um determinante 3\times3.

Passo 2

Aplicamos as operações
R_{2}\leftarrow R_{2}-2R_{1},\quad R_{3}\leftarrow R_{3}-R_{1},\quad R_{4}\leftarrow R_{4}-3R_{1},
que não mudam o determinante. A matriz fica
A'=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 0\\\\ 0 & -3 & 3 & 0\\\\ 0 & -2 & 3 & 1\\\\ 0 & -2 & 2 & 2 \end{pmatrix}.
Como a primeira coluna de A' só tem 1 na posição (1,1), temos
\det A = 1 \cdot \det M,
onde
M = \begin{pmatrix} -3 & 3 & 0\\\\ -2 & 3 & 1\\\\ -2 & 2 & 2 \end{pmatrix}
é a submatriz eliminando a primeira linha e a primeira coluna.

Passo 3

Para calcular \det M expandimos pela primeira linha:
\det M = (-3)\,C_{11} + 3\,C_{12} + 0\cdot C_{13}.
Os cofatores são
C_{11} = \det\begin{pmatrix}3 & 1\\\ 2 & 2\end{pmatrix} = 3\cdot2 - 1\cdot2 = 4,
C_{12} = -\det\begin{pmatrix}-2 & 1\\\ -2 & 2\end{pmatrix} = -\bigl((-2)\cdot2 - 1\cdot(-2)\bigr) = -(-4 + 2) = 2.
Logo,
\det M = (-3)\cdot4 + 3\cdot2 = -12 + 6 = -6.

Passo 4

Portanto,
\det A = 1 \times (-6) = -6.

Resposta

-6

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