Questão1:
Calcule o determinante:
\left| \begin{array}{rrrr}-1 & 3 & 3 & 1 \\ -3 & 2 & 6 & 2 \\ -5 & 1 & -1 & 3 \\ -7 & 5 & 0 & 4\end{array}\right|

Passo 1

O enunciado pede calcular o determinante da matriz 4\times4 abaixo:
A = \begin{pmatrix} -1 & 3 & 3 & 1 \\\\ -3 & 2 & 6 & 2 \\\\ -5 & 1 & -1 & 3 \\\\ -7 & 5 & 0 & 4 \end{pmatrix}
O conteúdo da matéria é determinantes de matrizes. Vamos usar operações elementares de linha para criar zeros embaixo do pivô e, em seguida, desenvolver por cofactor.

Passo 2

Aplicamos as operações
R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1,\quad R_3 \leftarrow R_3 - 5R_1,\quad R_4 \leftarrow R_4 - 7R_1
Essas operações não mudam o valor do determinante. A matriz fica:
\begin{pmatrix} -1 & 3 & 3 & 1 \\\\ 0 & -7 & -3 & -1 \\\\ 0 & -14 & -16 & -2 \\\\ 0 & -16 & -21 & -3 \end{pmatrix}

Passo 3

Agora expandimos o determinante de A pela primeira coluna. Como só o elemento a_{11}=-1 é não nulo, temos
\det(A) = (-1)^{1+1}\,a_{11}\,\det(B) = (-1)\,\det(B),
onde B é o menor 3\times3 obtido removendo a linha 1 e a coluna 1:
B = \begin{pmatrix} -7 & -3 & -1 \\\\ -14 & -16 & -2 \\\\ -16 & -21 & -3 \end{pmatrix}.

Passo 4

Para calcular \det(B) desenvolvemos também pela primeira coluna:
\det(B) = (-7)\det\begin{pmatrix}-16 & -2\\\ -21 & -3\end{pmatrix} -(-14)\det\begin{pmatrix}-3 & -1\\\ -21 & -3\end{pmatrix} +(-16)\det\begin{pmatrix}-3 & -1\\\ -16 & -2\end{pmatrix}.
Calculando cada menor:
\det\begin{pmatrix}-16 & -2\\\ -21 & -3\end{pmatrix} = (-16)(-3)-(-2)(-21)=48-42=6,
\det\begin{pmatrix}-3 & -1\\\ -21 & -3\end{pmatrix} =9-21=-12,
\det\begin{pmatrix}-3 & -1\\\ -16 & -2\end{pmatrix} =6-16=-10.
Logo
\det(B) =(-7)\cdot6 -(-14)\cdot(-12) +(-16)\cdot(-10) =-42 -168 +160 = -50.

Passo 5

Voltando em \det(A)=(-1)\det(B), obtemos
\det(A)=(-1)\times(-50)=50.

Resposta

50

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