Calcule
\lim _{n \rightarrow+\infty} n\left[e^{\operatorname{sen} \frac{1}{n}}-1\right]

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{n\to+\infty} n\bigl[e^{\operatorname{sen}\tfrac{1}{n}}-1\bigr].
Informações dadas:
  • A variável de iteração é n e a operação é n\to+\infty.
  • A expressão envolve a função exponencial e^{(\cdot)} e a função seno (escrita como \operatorname{sen} no enunciado), aplicada ao argumento \tfrac{1}{n}.
    O que se pede: encontrar o valor numérico desse limite.

Passo 2

Uma transformação útil é trocar a variável para algo que vá a zero de forma direta. Defina
x=\tfrac{1}{n}.
Quando n\to+\infty temos x\to 0^+. Substituindo, a expressão do limite fica
n\bigl[e^{\operatorname{sen}\tfrac{1}{n}}-1\bigr]=\frac{e^{\operatorname{sen}x}-1}{x}.
Portanto o limite pedido é equivalente a
\lim_{n\to+\infty} n\bigl[e^{\operatorname{sen}\tfrac{1}{n}}-1\bigr] = \lim_{x\to 0^+}\frac{e^{\operatorname{sen}x}-1}{x}.
Trocar a variável assim ajuda porque agora lidamos com uma expressão do tipo \dfrac{f(x)-f(0)}{x} quando definirmos uma função adequada.

Passo 3

Defina a função
f(t)=e^{\operatorname{sen}t}.
Note que f(0)=e^{\operatorname{sen}0}=e^0=1. A expressão do passo anterior é precisamente
\frac{e^{\operatorname{sen}x}-1}{x}=\frac{f(x)-f(0)}{x}.
Agora use a definição de derivada: para uma função diferenciável f em 0,
f'(0)=\lim_{t\to0}\frac{f(t)-f(0)}{t}.
Logo, se conseguirmos calcular f'(0), esse será exatamente o limite que queremos.

Passo 4

Calcule a derivada de f. Usando regra da cadeia:
f'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(e^{\operatorname{sen}t}\bigr)=e^{\operatorname{sen}t}\cdot\frac{d}{dt}(\operatorname{sen}t).
E como \dfrac{d}{dt}(\operatorname{sen}t)=\cos t, obtemos
f'(t)=e^{\operatorname{sen}t}\cos t.
Agora avalie em t=0:
f'(0)=e^{\operatorname{sen}0}\cos 0 = e^{0}\cdot 1 = 1.

Passo 5

Pelo passo 3 e pelo cálculo do passo 4, tem-se
\lim_{x\to 0^+}\frac{e^{\operatorname{sen}x}-1}{x}=f'(0)=1.
Portanto o limite original também vale 1.

Passo 6

Para consolidar a intuição: outra maneira (menos elegante, mas didática) é usar desenvolvimentos em série para pequenas x. Temos
\operatorname{sen}x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3), \qquad e^{y}=1+y+\frac{y^2}{2}+o(y^2)\\ \text{quando }y\to0.
Tomando y=\operatorname{sen}x,
e^{\operatorname{sen}x}-1 = \operatorname{sen}x + O((\operatorname{sen}x)^2) = x + o(x).
Assim
\frac{e^{\operatorname{sen}x}-1}{x}\to 1,
confirmando o resultado obtido antes. Essa via mostra que, para pequenos argumentos, e^{\operatorname{sen}x}-1 comporta-se como x.

Resposta

1

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