Calcule
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas:
- A variável de iteração é
e a operação é . - A expressão envolve a função exponencial
e a função seno (escrita como no enunciado), aplicada ao argumento .
O que se pede: encontrar o valor numérico desse limite.
Passo 2
Uma transformação útil é trocar a variável para algo que vá a zero de forma direta. Defina
Quando
temos
. Substituindo, a expressão do limite fica
Portanto o limite pedido é equivalente a
Trocar a variável assim ajuda porque agora lidamos com uma expressão do tipo
quando definirmos uma função adequada.
Passo 3
Defina a função
Note que
. A expressão do passo anterior é precisamente
Agora use a definição de derivada: para uma função diferenciável
em
,
Logo, se conseguirmos calcular
, esse será exatamente o limite que queremos.
Passo 4
Calcule a derivada de
. Usando regra da cadeia:
E como
, obtemos
Agora avalie em
:
Passo 5
Pelo passo 3 e pelo cálculo do passo 4, tem-se
Portanto o limite original também vale
.
Passo 6
Para consolidar a intuição: outra maneira (menos elegante, mas didática) é usar desenvolvimentos em série para pequenas
. Temos
Tomando
,
Assim
confirmando o resultado obtido antes. Essa via mostra que, para pequenos argumentos,
comporta-se como
.