Questīo 3.(2,5 pontos)Sejam \triangle A B C um triângulo e M, N e P os pontos médios dos lados \overline{B C} \overline{C A} \in \overline{A B} ,respectivamente.Os segmentos \overline{A M}, \overline{B N} \in \overline{C P} são chamados de medianas de \triangle A B C . Pars a lase \mathbf{B}=(\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}),determine:
(1)As coonlenadas do vetor \overrightarrow{C P} em relação a base \mathfrak{B}

Passo 1

O enunciado dá:
  • Um triângulo ABC.
  • M, N, P são os pontos médios dos lados \overline{BC},\\ \overline{CA},\\ \overline{AB}, respectivamente. Em particular, P é ponto médio de \overline{AB}.
  • As medianas são os segmentos \overline{AM},\\ \overline{BN},\\ \overline{CP}.
  • A base \mathfrak{B} é \mathfrak{B}=(\overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{AC}).
O que se pede:
  • Determinar as coordenadas do vetor \overrightarrow{CP} em relação à base \mathfrak{B}; isto é, encontrar escalares x e y tais que
\overrightarrow{CP}=x\,\overrightarrow{AB}+y\,\overrightarrow{AC},
e apresentar o par \bigl(x,y\bigr) (ou a coluna de coordenadas) relativo à base \mathfrak{B}.

Passo 2

Lembrando duas propriedades vetoriais fundamentais que vamos usar (aqui explicadas passo a passo):
  • Regra de soma de vetores por ponta a ponta: se os pontos X,Y,Z estão dispostos em sequência X\to Y\to Z, então
\overrightarrow{XZ}=\overrightarrow{XY}+\overrightarrow{YZ}.
Isto é apenas juntar os deslocamentos: ir de X a Y e depois de Y a Z é o mesmo que ir diretamente de X a Z.
  • Propriedade do ponto médio: se P é o ponto médio de \overline{AB}, então o vetor que vai de A a P vale metade do vetor que vai de A a B:
\overrightarrow{AP}=\tfrac{1}{2}\,\overrightarrow{AB}.
Explicação rápida: colocar a origem em A. Então as posições de A e B são 0 e \overrightarrow{AB}; o ponto médio tem posição média, \tfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}. O mesmo raciocínio vale para qualquer segmento.

Passo 3

Aplicar a regra de soma de vetores para escrever \overrightarrow{CP} como soma de vetores que sabemos relacionar com \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}.
Uma sequência natural é C\to A\to P. Assim, usando a regra de soma,
\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AP}.

Passo 4

Agora substituímos cada termo pelas formas em função de \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}:
  • Note que \overrightarrow{CA}=-\overrightarrow{AC} (inverter a direção troca o sinal).
  • Como P é ponto médio de \overline{AB}, \overrightarrow{AP}=\tfrac{1}{2}\,\overrightarrow{AB} (pela propriedade do ponto médio).
Substituindo em \overrightarrow{CP}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AP} obtemos
\overrightarrow{CP}=-\overrightarrow{AC}+\tfrac{1}{2}\,\overrightarrow{AB}.

Passo 5

Reescrevendo na ordem da base \mathfrak{B}=(\overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{AC}), a combinação linear fica
\overrightarrow{CP}=\tfrac{1}{2}\,\overrightarrow{AB}+(-1)\,\overrightarrow{AC}.
Portanto os coeficientes (as coordenadas de \overrightarrow{CP} na base \mathfrak{B}) são x=\tfrac{1}{2} associado a \overrightarrow{AB} e y=-1 associado a \overrightarrow{AC}.

Resposta

\displaystyle \begin{pmatrix}\tfrac{1}{2}\\[4pt]-1\end{pmatrix}]

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