Questīo 3.(2,5 pontos)Sejam \triangle A B C um triângulo e M, N e P os pontos médios dos lados \overline{B C} , \overline{C A} \in \overline{A B} ,respectivamente.Os segmentos \overline{A M}, \overline{B N} \in \overline{C P} são chamados de medianas de \triangle A B C . Pars a lase \mathbf{B}=(\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}),determine:
(1)As coonlenadas do vetor \overrightarrow{C P} em relação a base \mathfrak{B} .
Passo 1
O enunciado dá:
Um triângulo ABC.
M, N, P são os pontos médios dos lados \overline{BC},\\ \overline{CA},\\ \overline{AB}, respectivamente. Em particular, P é ponto médio de \overline{AB}.
As medianas são os segmentos \overline{AM},\\ \overline{BN},\\ \overline{CP}.
A base \mathfrak{B} é \mathfrak{B}=(\overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{AC}).
O que se pede:
Determinar as coordenadas do vetor \overrightarrow{CP} em relação à base \mathfrak{B}; isto é, encontrar escalares x e y tais que
Explicação rápida: colocar a origem em A. Então as posições de A e B são 0 e \overrightarrow{AB}; o ponto médio tem posição média, \tfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}. O mesmo raciocínio vale para qualquer segmento.
Passo 3
Aplicar a regra de soma de vetores para escrever \overrightarrow{CP} como soma de vetores que sabemos relacionar com \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}.
Uma sequência natural é C\to A\to P. Assim, usando a regra de soma,
Portanto os coeficientes (as coordenadas de \overrightarrow{CP} na base \mathfrak{B}) são x=\tfrac{1}{2} associado a \overrightarrow{AB} e y=-1 associado a \overrightarrow{AC}.