Questio 4.(2,0 pontos)Determine a distância entre o ponto Q=(9,0) e a reta r que passa pelo ponto P=(6,-1) e possui vetor diretor \vec{v}=(2,-1)

Passo 1

O enunciado dá uma reta r e dois pontos e pede a distância entre o ponto Q e a reta r. Dados fornecidos:
  • Ponto Q = (9,0).
  • Ponto que pertence à reta r: P = (6,-1).
  • Vetor diretor da reta: \vec{v} = (2,-1).
O que se pede:
  • Calcular a distância do ponto Q até a reta r que passa por P com direção \vec{v}.

Passo 2

Ideia do método (explicação didática e intuitiva). Uma forma geométrica simples de achar a distância é pensar no paralelogramo gerado pelos vetores \vec{v} e \overrightarrow{PQ}. A área desse paralelogramo é igual ao produto da base ( \|\vec{v}\|) pelo altura (que é exatamente a distância que queremos). Além disso, a área do paralelogramo em duas dimensões é dada pelo valor absoluto do determinante formado pelos dois vetores. Assim obtemos a fórmula
\text{distância} = \frac{\big|\det(\vec{v},\,\overrightarrow{PQ})\big|}{\|\vec{v}\|}.â
Aqui:
  • \overrightarrow{PQ} é o vetor que vai de P até Q.
  • \det(\vec{a},\vec{b}) para \vec{a}=(a_x,a_y) e \vec{b}=(b_x,b_y) é a_x b_y - a_y b_x (é a área orientada do paralelogramo).
  • \|\vec{v}\| é a norma (comprimento) do vetor \vec{v}, dada por \|\vec{v}\|=\sqrt{v_x^2+v_y^2}.
Vou usar essa fórmula e, depois, fazer uma verificação usando projeção (produto escalar) para você ver outra forma equivalente.

Passo 3

Calcular o vetor \overrightarrow{PQ} a partir das coordenadas de P e Q.
\overrightarrow{PQ} = Q-P = (9,0)-(6,-1) = (9-6,\;0-(-1)) = (3,1).

Passo 4

Calcular o determinante \det(\vec{v},\,\overrightarrow{PQ}).
\det(\vec{v},\,\overrightarrow{PQ}) = \det\big((2,-1),\,(3,1)\big) = 2\cdot 1 - (-1)\cdot 3 = 2 + 3 = 5.

Passo 5

Calcular a norma do vetor diretor \vec{v}.
\|\vec{v}\| = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}.

Passo 6

Aplicar a fórmula da distância usando os resultados dos passos anteriores.
\text{distância} = \frac{|\det(\vec{v},\,\overrightarrow{PQ})|}{\|\vec{v}\|} = \frac{|5|}{\sqrt{5}} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}.â

Passo 7

Verificação alternativa (projeção orthogonal, para consolidar o conceito). A projeção de \overrightarrow{PQ} sobre \vec{v} tem parâmetro
t = \frac{\overrightarrow{PQ}\cdot \vec{v}}{\vec{v}\cdot \vec{v}}.
Calcular os produtos:
\overrightarrow{PQ}\cdot \vec{v} = (3,1)\cdot(2,-1) = 3\cdot 2 + 1\cdot(-1) = 6-1 = 5,
\vec{v}\cdot \vec{v} = 2^2 + (-1)^2 = 5,
logo t = 5/5 = 1. A projeção é t\vec{v} = 1\cdot(2,-1)=(2,-1). O vetor perpendicular (de Q até a reta) é
\overrightarrow{PQ} - t\vec{v} = (3,1)-(2,-1) = (1,2),
cuja norma é
\sqrt{1^2+2^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5},
confirmando o resultado anterior.

Resposta

\sqrt{5}

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