Encontre o volume do sólido Omega limitado por z=raizx^2+y^2 e z=raiz3(x^2+y^2) e pelo plano z=3.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Queremos encontrar o volume de um sólido Omega que é limitado por duas superfícies cônicas dadas por z = raizx^2 + y^2 e z = raiz3(x^2 + y^2), além do plano z = 3. Para resolver isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que são muito úteis para tratar de sólidos com simetria circular como esse.

Passo 2

Primeiro, vamos traduzir as equações dadas para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas:
  • x = r costheta
  • y = r sintheta
  • z = z
Assim, as equações dos cones ficam:
  • z = raizx^2 + y^2 se torna z = r
  • z = raiz3(x^2 + y^2) se torna z = rraiz3

Passo 3

Agora, precisamos determinar os limites de integração para r, theta e z. O ângulo theta varia de 0 a 2pi porque o sólido é simétrico em torno do eixo z.
Para o raio r, observamos que:
  • Do cone z = r, temos que para z <= 3, r <= 3
  • Do cone z = rraiz3, para z <= 3, r <= 3raiz3 = raiz3
Portanto, o raio r varia de 0 a 3, mas precisamos dividir a integração em duas regiões:
  1. De r = 0 a r = raiz3, onde z varia de r a rraiz3
  2. De r = raiz3 a r = 3, onde z varia de r a 3

Passo 4

Vamos calcular o volume em cada uma dessas regiões separadamente e depois somá-los.
Primeira região: 0 <= r <= raiz3
O volume V1 é dado por:
V1 = integral0^2pi integral0^raiz3 integralr^rraiz3 r , dz , dr , dtheta
Segunda região: raiz3 <= r <= 3
O volume V2 é dado por:
V2 = integral0^2pi integralraiz3^3 integralr^3 r , dz , dr , dtheta

Passo 5

Vamos resolver a integral para a primeira região V1:
V1 = integral0^2pi integral0^raiz3 integralr^rraiz3 r , dz , dr , dtheta
Integrando em z:
V1 = integral0^2pi integral0^raiz3 r ( rraiz3 - r ) dr , dtheta = integral0^2pi integral0^raiz3 r^2 (raiz3 - 1) , dr , dtheta
Integrando em r:
V1 = (raiz3 - 1) integral0^2pi [ r^33 ]0^raiz3 dtheta = (raiz3 - 1) integral0^2pi (raiz3)^33 dtheta
Simplificando:
V1 = (raiz3 - 1) integral0^2pi 3raiz33 dtheta = (raiz3 - 1) raiz3 integral0^2pi dtheta
V1 = (raiz3 - 1) raiz3 cdot 2pi = 2pi (raiz3 - 1)raiz3
Simplificando mais:
V1 = 2pi (3 - raiz3)

Passo 6

Agora, vamos resolver a integral para a segunda região V2:
V2 = integral0^2pi integralraiz3^3 integralr^3 r , dz , dr , dtheta
Integrando em z:
V2 = integral0^2pi integralraiz3^3 r (3 - r) dr , dtheta
Distribuindo r:
V2 = integral0^2pi integralraiz3^3 (3r - r^2) dr , dtheta
Integrando em r:
V2 = integral0^2pi [ 3r^22 - r^33 ]raiz3^3 dtheta
Calculando os limites:
Para r=3:
3(3)^22 - (3)^33 = 272 - 9 = 272 - 182 = 92
Para r=raiz3:
3(raiz3)^22 - (raiz3)^33 = 3 cdot 32 - 3raiz33 = 92 - raiz3
Subtraindo:
( 92 ) - ( 92 - raiz3 ) = raiz3
Então:
V2 = integral0^2pi raiz3 , dtheta = raiz3 cdot 2pi = 2pi raiz3

Passo 7

Agora, somamos os volumes das duas regiões para obter o volume total Omega:
V = V1 + V2 = 2pi (3 - raiz3) + 2pi raiz3 = 6pi

Resposta

O volume do sólido Omega é 6pi unidades cúbicas.

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