Encontre o volume do sólido
limitado por
e
e pelo plano
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Queremos encontrar o volume de um sólido
que é limitado por duas superfícies cônicas dadas por
e
, além do plano
. Para resolver isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que são muito úteis para tratar de sólidos com simetria circular como esse.
Passo 2
Primeiro, vamos traduzir as equações dadas para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas:
Assim, as equações dos cones ficam:
-
se torna -
se torna
Passo 3
Agora, precisamos determinar os limites de integração para
,
e
. O ângulo
varia de
a
porque o sólido é simétrico em torno do eixo
.
Para o raio
, observamos que:
- Do cone
, temos que para , - Do cone
, para ,
Portanto, o raio
varia de
a
, mas precisamos dividir a integração em duas regiões:
- De
a , onde varia de a - De
a , onde varia de a
Passo 4
Vamos calcular o volume em cada uma dessas regiões separadamente e depois somá-los.
Primeira região:
O volume
é dado por:
Segunda região:
O volume
é dado por:
Passo 5
Vamos resolver a integral para a primeira região
:
Integrando em
:
Integrando em
:
Simplificando:
Simplificando mais:
Passo 6
Agora, vamos resolver a integral para a segunda região
:
Integrando em
:
Distribuindo
:
Integrando em
:
Calculando os limites:
Para
:
Para
:
Subtraindo:
Então:
Passo 7
Agora, somamos os volumes das duas regiões para obter o volume total
:
Resposta
O volume do sólido
é
unidades cúbicas.