e pergunta se f é contínua em todo \mathbb{R}. Vamos usar as propriedades de funções contínuas (soma, quociente, composição, função constante) para verificar:
Continuidade em x<0.
Continuidade em x>0.
Continuidade em x=0 analisando limites laterais e valor da função.]
Passo 2
Para x<0, as funções \cos x e e^{x} são contínuas em todo \mathbb{R}. Como e^{x}-1\neq0 quando x<0 (pois e^{x}<1), o quociente
\dfrac{\cos x-1}{e^{x}-1}
é contínuo em (-\infty,0) por ser quociente de funções contínuas cujo denominador não anula.
Passo 3
Para x>0, f(x)=1 é uma função constante, logo contínua em (0,\infty). Em x=0 pelo lado direito temos
\lim_{x\to0^+}f(x)=1=f(0),
portanto a condição de continuidade à direita em 0 está satisfeita.
Passo 4
Resta verificar a continuidade em x=0 pelo lado esquerdo. Temos f(0)=1 e