Nas questões de 7 a 10, justifique sua resposta através das propriedades para funções contínuas vistas em aula.
A função
f(x)=\left\{\begin{array}{cl} \frac{\cos x-1}{e^{x}-1}, & \text { se } x<0 \\\\ 1, & \text { se } x \geq 0 \end{array}\right.
é contínua para todo x \in \mathbb{R} ?

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= \begin{cases} \dfrac{\cos x-1}{e^{x}-1},&x<0,\\[6pt] 1,&x\ge0, \end{cases}
e pergunta se f é contínua em todo \mathbb{R}. Vamos usar as propriedades de funções contínuas (soma, quociente, composição, função constante) para verificar:
  1. Continuidade em x<0.
  2. Continuidade em x>0.
  3. Continuidade em x=0 analisando limites laterais e valor da função.]

Passo 2

Para x<0, as funções \cos x e e^{x} são contínuas em todo \mathbb{R}. Como e^{x}-1\neq0 quando x<0 (pois e^{x}<1), o quociente
\dfrac{\cos x-1}{e^{x}-1}
é contínuo em (-\infty,0) por ser quociente de funções contínuas cujo denominador não anula.

Passo 3

Para x>0, f(x)=1 é uma função constante, logo contínua em (0,\infty). Em x=0 pelo lado direito temos
\lim_{x\to0^+}f(x)=1=f(0),
portanto a condição de continuidade à direita em 0 está satisfeita.

Passo 4

Resta verificar a continuidade em x=0 pelo lado esquerdo. Temos f(0)=1 e
\lim_{x\to0^-}f(x) =\lim_{x\to0^-}\frac{\cos x-1}{e^{x}-1}.
Como o numerador e o denominador tendem a zero, aplicamos a regra de L’Hôpital:
\lim_{x\to0^-}\frac{\cos x-1}{e^{x}-1} =\lim_{x\to0^-}\frac{-\sin x}{e^{x}} =\frac{-\sin0}{e^{0}} =0.
Como
\lim_{x\to0^-}f(x)=0\quad\text{e}\quad f(0)=1,
os limites laterais não coincidem com f(0). Portanto f não é contínua em x=0.

Resposta

Não. A função f falha em ser contínua no ponto x=0, pois \lim_{x\to0^-}f(x)=0\neq1=f(0).

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