Um tanque contém 20 kg de sal dissolvido em 5000 L de água. Água salgada com 0,03 \mathrm{~kg} de sal por litro entra no tanque a uma taxa de 25 \mathrm{~L} / \mathrm{min}. A solução é misturada completamente e sai do tanque à mesma taxa. Considere y(t) a quantidade de sal (em quilogramas) depois de t minutos.
A. Qual a taxa de entrada de sal?
B. Qual a taxa de saída de sal?
C. Sabendo que y^{\prime}(t)= taxa de entrada - taxa de saída a quantidade, determine a equação diferencial que modela y.
D. Qual a quantidade de sal que permanece no tanque depois de meia hora?

Passo 1

O enunciado trata de um problema de mistura em tanque de volume constante 5000 L, onde y(t) é a quantidade de sal (em kg) no tanque no instante t (em min). Entra água salgada com concentração \,0,03,kg/L à vazão de 25,L/min e sai solução na mesma vazão. Precisamos determinar:
A. taxa de entrada de sal;
B. taxa de saída de sal;
C. a EDO que modela y(t);
D. o valor de y(30).

Passo 2

A taxa de entrada de sal é dada por
\text{concentração}_\text{in} \times \text{vazão} = 0,03 \,\frac{\text{kg}}{\text L} \times 25 \,\frac{\text L}{\min} = 0,75 \,\frac{\text{kg}}{\min}.çãã

Passo 3

A concentração de sal na solução do tanque é \tfrac{y(t)}{5000} kg/L e a vazão de saída é 25,L/min, logo a taxa de saída é
\frac{y(t)}{5000}\,\frac{\text{kg}}{\text L}\times 25 \,\frac{\text L}{\min} =\frac{25}{5000}\,y(t) =\frac{1}{200}\,y(t) =0,005\,y(t)\,\frac{\text{kg}}{\min}.

Passo 4

Pelo princípio da mistura com volume constante temos
y'(t)=\text{taxa de entrada}-\text{taxa de saída},í
isto é
y'(t)=0,75 - \frac{1}{200}\,y(t).

Passo 5

Para resolver
y' + \frac{1}{200}\,y = 0,75
usamos fator integrante e^{t/200}. A solução geral é
y(t)=Ce^{-t/200} + y_{\text{eq}},
onde y_{\text{eq}}=\dfrac{0,75}{1/200}=150. Como y(0)=20, obtemos
20 = C + 150 \quad\Longrightarrow\quad C = -130,
logo
y(t)=150 -130\,e^{-t/200}.

Passo 6

Para t=30,min,
y(30)=150 -130\,e^{-30/200} =150 -130\,e^{-0,15} \approx 150 -130\cdot0,8607 \approx 38,11\;\text{kg}.

Resposta

A. 0,75,kg/min
B. \tfrac{1}{200}\,y(t)=0,005\,y(t),kg/min
C. \displaystyle y'(t)=0,75 - \tfrac{1}{200}\,y(t)
D. y(30)=150-130\,e^{-30/200}\approx38,11,kg

Exercícios relacionados