Um tanque contém 20 kg de sal dissolvido em 5000 L de água. Água salgada com
de sal por litro entra no tanque a uma taxa de
. A solução é misturada completamente e sai do tanque à mesma taxa. Considere
a quantidade de sal (em quilogramas) depois de
minutos.
A. Qual a taxa de entrada de sal?
B. Qual a taxa de saída de sal?
C. Sabendo que
taxa de entrada - taxa de saída a quantidade, determine a equação diferencial que modela
.
D. Qual a quantidade de sal que permanece no tanque depois de meia hora?
A. Qual a taxa de entrada de sal?
B. Qual a taxa de saída de sal?
C. Sabendo que
D. Qual a quantidade de sal que permanece no tanque depois de meia hora?
Passo 1
O enunciado trata de um problema de mistura em tanque de volume constante
L, onde
é a quantidade de sal (em kg) no tanque no instante
(em min). Entra água salgada com concentração
,kg/L à vazão de
,L/min e sai solução na mesma vazão. Precisamos determinar:
A. taxa de entrada de sal;
B. taxa de saída de sal;
C. a EDO que modela ;
D. o valor de .
A. taxa de entrada de sal;
B. taxa de saída de sal;
C. a EDO que modela
D. o valor de
Passo 2
A taxa de entrada de sal é dada por
Passo 3
A concentração de sal na solução do tanque é
kg/L e a vazão de saída é
,L/min, logo a taxa de saída é
Passo 4
Pelo princípio da mistura com volume constante temos
isto é
Passo 5
Para resolver
usamos fator integrante
. A solução geral é
onde
. Como
, obtemos
logo
Passo 6
Para
,min,
Resposta
A.
,kg/min
B. ,kg/min
C.
D. ,kg
B.
C.
D.