Seja
f(x)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{x^{2}+x}{x^{2}-1}, & \text { se } x<-1 \\\ \frac{\sqrt{x+2}-1}{x+1}, & \text { se } x>-1 \end{array}\right.
Calcule, caso exista,
\lim _{x \rightarrow-1} f(x)

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)=\begin{cases} \displaystyle\frac{x^{2}+x}{x^{2}-1},&x<-1,\\[1em] \displaystyle\frac{\sqrt{x+2}-1}{x+1},&x>-1, \end{cases}
e pede \lim_{x\to-1}f(x). Para que esse limite exista, os limites laterais em -1 devem existir e ser iguais. Vamos calcular primeiro o limite pela esquerda, usando fatoração, e depois o limite pela direita, usando racionalização.]

Passo 2

Calcular \lim_{x\to-1^-}\frac{x^{2}+x}{x^{2}-1}. Observamos que
\frac{x^{2}+x}{x^{2}-1} =\frac{x(x+1)}{(x+1)(x-1)} =\frac{x}{x-1},\quad x\neq -1.
Portanto
\lim_{x\to-1^-}\frac{x^{2}+x}{x^{2}-1} =\lim_{x\to-1^-}\frac{x}{x-1} =\frac{-1}{-1-1} =\frac{-1}{-2} =\frac12.

Passo 3

Calcular \lim_{x\to-1^+}\frac{\sqrt{x+2}-1}{x+1}. Racionalizamos o numerador:
\frac{\sqrt{x+2}-1}{x+1} =\frac{(\sqrt{x+2}-1)(\sqrt{x+2}+1)}{(x+1)(\sqrt{x+2}+1)} =\frac{x+2-1}{(x+1)(\sqrt{x+2}+1)} =\frac{x+1}{(x+1)(\sqrt{x+2}+1)} =\frac1{\sqrt{x+2}+1}.
Logo
\lim_{x\to-1^+}\frac{\sqrt{x+2}-1}{x+1} =\lim_{x\to-1^+}\frac1{\sqrt{x+2}+1} =\frac1{1+1} =\frac12.

Passo 4

Como o limite pela esquerda vale \tfrac12 e o limite pela direita também vale \tfrac12, concluímos que
\lim_{x\to-1}f(x)=\frac12.

Resposta

\displaystyle \frac12

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