Nas questões de 7 a 10, justifique sua resposta através das propriedades para funções contínuas vistas em aula.
A função
f(x)=\left\{\begin{array}{cl} \frac{\left(e^{x}-1\right)^{2}}{\cos x-1}, & \text { se } x<0 \\\\ -2, & \text { se } x \geq 0 \end{array}\right.
é contínua no intervalo \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) ?

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= \begin{cases} \dfrac{\bigl(e^{x}-1\bigr)^{2}}{\cos x-1},&\text{se }x<0,\\[6pt] -2,&\text{se }x\ge0, \end{cases}
e pergunta se ela é contínua em \bigl(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\bigr). Vamos usar que soma, produto e composição de funções contínuas são contínuas, que quociente é contínuo onde o denominador não zera, e que basta verificar continuidade em cada parte do domínio e no ponto de quebra x=0.]

Passo 2

Para x<0 temos o quociente
g(x)=\bigl(e^{x}-1\bigr)^{2},\qquad h(x)=\cos x-1.
As funções x\mapsto e^{x}-1 e x\mapsto\cos x-1 são contínuas, logo g e h são contínuas. Em \bigl(-\tfrac{\pi}{2},0\bigr) tem-se \cos x-1\neq0, pois \cos x<1 para x\ne0. Assim o quociente g(x)/h(x) é contínuo em todo \bigl(-\tfrac{\pi}{2},0\bigr).

Passo 3

Para x>0, f(x)=-2 é constante, portanto contínua em \bigl(0,\tfrac{\pi}{2}\bigr).

Passo 4

Resta verificar a continuidade em x=0. Temos f(0)=-2.
  1. Limite pela direita: para x\to0^+, f(x)=-2, logo
\lim_{x\to0^+}f(x)=-2.
  1. Limite pela esquerda:
\lim_{x\to0^-}\frac{\bigl(e^{x}-1\bigr)^{2}}{\cos x-1}
é forma \tfrac{0}{0}, podemos usar expansão em série de Taylor:
e^{x}-1 = x + \tfrac{x^{2}}{2} + O(x^{3}),\qquad \cos x -1 = -\tfrac{x^{2}}{2} + O(x^{4}).
Então
\bigl(e^{x}-1\bigr)^{2} = x^{2} + O(x^{3}), \quad \cos x-1 = -\tfrac{x^{2}}{2} + O(x^{4}),
e
\frac{x^{2}+O(x^{3})}{-{\tfrac{x^{2}}{2}}+O(x^{4})} \;\longrightarrow\; \frac{x^{2}}{-\tfrac{x^{2}}{2}} =-2.
Logo
\lim_{x\to0^-}f(x)=-2.
Como as duas limites laterais coincidem com f(0), f é contínua em x=0.

Resposta

Sim. A função é contínua em \bigl(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\bigr).

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