Seja
f(x)= \begin{cases}\frac{x^{2}+2 x+1}{x^{2}-1}, & \text { se } x<-1 \\\ \frac{\sqrt{x+2}-1}{x+1}, & \text { se } x>-1\end{cases}
Calcule, caso exista,
\lim _{x \rightarrow-1} f(x)

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= \begin{cases} \frac{x^{2}+2x+1}{x^{2}-1}, & x<-1,\\[6pt] \frac{\sqrt{x+2}-1}{x+1}, & x>-1, \end{cases}
e pede \lim_{x\to -1}f(x). Como a função é dada por duas expressões diferentes à esquerda e à direita de x=-1, precisamos calcular o limite à esquerda e o limite à direita separadamente.]

Passo 2

Para o limite pela esquerda x\to -1^-, usamos
\frac{x^{2}+2x+1}{x^{2}-1} =\frac{(x+1)^{2}}{(x-1)(x+1)} =\frac{x+1}{x-1},
válido para x\neq -1. Então
\lim_{x\to -1^-}f(x) =\lim_{x\to -1^-}\frac{x+1}{x-1} =\frac{-1+1}{-1-1} =\frac{0}{-2} =0.

Passo 3

Para o limite pela direita x\to -1^+, usamos
\frac{\sqrt{x+2}-1}{x+1} \cdot\frac{\sqrt{x+2}+1}{\sqrt{x+2}+1} =\frac{(x+2)-1}{(x+1)\,(\sqrt{x+2}+1)} =\frac{x+1}{(x+1)\,(\sqrt{x+2}+1)} =\frac{1}{\sqrt{x+2}+1}.
Logo
\lim_{x\to -1^+}f(x) =\lim_{x\to -1^+}\frac{1}{\sqrt{x+2}+1} =\frac{1}{\sqrt{1}+1} =\frac{1}{2}.

Passo 4

Como \lim_{x\to -1^-}f(x)=0 e \lim_{x\to -1^+}f(x)=\tfrac12,
os dois limites laterais são diferentes, portanto o limite \lim_{x\to -1}f(x) não existe.

Resposta

O limite não existe.

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