Seja f(x)= \begin{cases}\frac{x^{2}+2 x+1}{x^{2}-1}, & \text { se } x<-1 \\\ \frac{\sqrt{x+2}-1}{x+1}, & \text { se } x>-1\end{cases} Calcule, caso exista, \lim _{x \rightarrow-1} f(x) Passo 1O enunciado define a função f(x)= \begin{cases} \frac{x^{2}+2x+1}{x^{2}-1}, & x<-1,\\[6pt] \frac{\sqrt{x+2}-1}{x+1}, & x>-1, \end{cases} e pede \lim_{x\to -1}f(x). Como a função é dada por duas expressões diferentes à esquerda e à direita de x=-1, precisamos calcular o limite à esquerda e o limite à direita separadamente.] Passo 2Para o limite pela esquerda x\to -1^-, usamos \frac{x^{2}+2x+1}{x^{2}-1} =\frac{(x+1)^{2}}{(x-1)(x+1)} =\frac{x+1}{x-1}, válido para x\neq -1. Então \lim_{x\to -1^-}f(x) =\lim_{x\to -1^-}\frac{x+1}{x-1} =\frac{-1+1}{-1-1} =\frac{0}{-2} =0. Passo 3Para o limite pela direita x\to -1^+, usamos \frac{\sqrt{x+2}-1}{x+1} \cdot\frac{\sqrt{x+2}+1}{\sqrt{x+2}+1} =\frac{(x+2)-1}{(x+1)\,(\sqrt{x+2}+1)} =\frac{x+1}{(x+1)\,(\sqrt{x+2}+1)} =\frac{1}{\sqrt{x+2}+1}. Logo \lim_{x\to -1^+}f(x) =\lim_{x\to -1^+}\frac{1}{\sqrt{x+2}+1} =\frac{1}{\sqrt{1}+1} =\frac{1}{2}. Passo 4Como \lim_{x\to -1^-}f(x)=0 e \lim_{x\to -1^+}f(x)=\tfrac12, os dois limites laterais são diferentes, portanto o limite \lim_{x\to -1}f(x) não existe. RespostaO limite não existe. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosSeja f(x)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{x^{2}+x}{x^{2}-1}, & \text { se } x<-1 \\\ \frac{\sqrt{x+2}-1}{x+1}, & \text { se } x>-1 \end{array}\right. Calcule, caso exista, \lim _{x \rightarrow-1} f(x) Nas questões de 7 a 10, justifique sua resposta através das propriedades para funções contínuas vistas em aula. A função f(x)=\left\{\begin{array}{cl} \frac{\left(e^{x}-1\right)^{2}}{\cos x-1}, & \text { se } x<0 \\\\ -2, & \text { se } x \geq 0 \end{array}\right. é contínua no intervalo \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) ? Calcule os seguintes limites: \lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}-e^{-x}}{\operatorname{sen}(2 x)} Calcule os seguintes limites: \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos x-1}{e^{x}-1}