Nas questões de 6 a 10: a) prove que a função é descontínua em
b) determine os valores da variável independente nos quais a função é descontínua; c) mostre por que a definição de continuidade não é satisfeita em cada descontinuidade.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para analisarmos a função $ f(t) $ definida por partes e verificar sua continuidade em $ a = 2 $. O conteúdo aqui é de continuidade de funções, que faz parte do estudo de Cálculo. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é continuidade e como verificar se uma função é descontínua em um ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função $ f(t) $ é contínua em $ a $ se três condições forem verdadeiras:
- $ f(a) $ está definida.
- O limite de $ f(t) $ quando $ t $ se aproxima de $ a $ existe.
- O limite de $ f(t) $ quando $ t $ se aproxima de $ a $ é igual a $ f(a) $.
Se alguma dessas condições não for satisfeita, a função é descontínua em $ a $. Vamos aplicar isso à nossa função em $ a = 2 $.
Passo 3
Primeiro, vamos calcular $ f(2) $. Como $ t = 2 $ está na parte $ t \leq 2 $ da função, usamos $ f(t) = 9 - t^2 $:
Então, $ f(2) = 5 $.
Passo 4
Agora, vamos encontrar o limite de $ f(t) $ quando $ t $ se aproxima de 2 pela esquerda (valores menores que 2):
Então, o limite pela esquerda é 5.
Passo 5
Em seguida, vamos encontrar o limite de $ f(t) $ quando $ t $ se aproxima de 2 pela direita (valores maiores que 2):
Então, o limite pela direita é 8.
Passo 6
Agora, comparamos os limites e o valor da função:
- $ \lim_{t \to 2^-} f(t) = 5 $
- $ \lim_{t \to 2^+} f(t) = 8 $
- $ f(2) = 5 $
Como os limites laterais são diferentes ($ 5 \neq 8 $), o limite geral de $ f(t) $ quando $ t $ se aproxima de 2 não existe. Portanto, a função não satisfaz a condição de continuidade.
Passo 7
Além disso, mesmo que os limites laterais fossem iguais, precisaríamos que esse limite fosse igual a $ f(2) $. No nosso caso, como os limites laterais são diferentes, já temos a descontinuidade.
Passo 8
Para determinar os valores onde a função é descontínua, observamos que a função é definida por duas expressões diferentes em $ t \leq 2 $ e $ t > 2 $. A única “quebra” possível na continuidade é no ponto onde essas duas definições se encontram, que é em $ t = 2 $. Assim, a função é descontínua apenas em $ t = 2 $.
Passo 9
Finalmente, vamos mostrar por que a definição de continuidade não é satisfeita em $ t = 2 $:
- A existência do limite geral $ \lim_{t \to 2} f(t) $ não é atendida porque $ \lim_{t \to 2^-} f(t) \neq \lim_{t \to 2^+} f(t) $.
- Mesmo que tivéssemos o mesmo limite pelas duas direções, precisaríamos que esse limite fosse igual a $ f(2) $, o que já vimos que não está acontecendo completamente.
Resposta
A função $ f(t) $ é descontínua em $ t = 2 $ porque os limites laterais são diferentes ($ 5 $ pela esquerda e $ 8 $ pela direita), e a definição de continuidade não é satisfeita nesse ponto.