Nas questões de 6 a 10: a) prove que a função é descontínua em a ; b) determine os valores da variável independente nos quais a função é descontínua; c) mostre por que a definição de continuidade não é satisfeita em cada descontinuidade.
f(t)=lll9-t^2 & se t <= 2 3 t+2 & se t>2 ; a=2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para analisarmos a função $ f(t) $ definida por partes e verificar sua continuidade em $ a = 2 $. O conteúdo aqui é de continuidade de funções, que faz parte do estudo de Cálculo. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é continuidade e como verificar se uma função é descontínua em um ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função $ f(t) $ é contínua em $ a $ se três condições forem verdadeiras:
  1. $ f(a) $ está definida.
  2. O limite de $ f(t) $ quando $ t $ se aproxima de $ a $ existe.
  3. O limite de $ f(t) $ quando $ t $ se aproxima de $ a $ é igual a $ f(a) $.
Se alguma dessas condições não for satisfeita, a função é descontínua em $ a $. Vamos aplicar isso à nossa função em $ a = 2 $.

Passo 3

Primeiro, vamos calcular $ f(2) $. Como $ t = 2 $ está na parte $ t \leq 2 $ da função, usamos $ f(t) = 9 - t^2 $:
f(2)
Então, $ f(2) = 5 $.

Passo 4

Agora, vamos encontrar o limite de $ f(t) $ quando $ t $ se aproxima de 2 pela esquerda (valores menores que 2):
f(t)
Então, o limite pela esquerda é 5.

Passo 5

Em seguida, vamos encontrar o limite de $ f(t) $ quando $ t $ se aproxima de 2 pela direita (valores maiores que 2):
f(t)
Então, o limite pela direita é 8.

Passo 6

Agora, comparamos os limites e o valor da função:
  • $ \lim_{t \to 2^-} f(t) = 5 $
  • $ \lim_{t \to 2^+} f(t) = 8 $
  • $ f(2) = 5 $
Como os limites laterais são diferentes ($ 5 \neq 8 $), o limite geral de $ f(t) $ quando $ t $ se aproxima de 2 não existe. Portanto, a função não satisfaz a condição de continuidade.

Passo 7

Além disso, mesmo que os limites laterais fossem iguais, precisaríamos que esse limite fosse igual a $ f(2) $. No nosso caso, como os limites laterais são diferentes, já temos a descontinuidade.

Passo 8

Para determinar os valores onde a função é descontínua, observamos que a função é definida por duas expressões diferentes em $ t \leq 2 $ e $ t > 2 $. A única “quebra” possível na continuidade é no ponto onde essas duas definições se encontram, que é em $ t = 2 $. Assim, a função é descontínua apenas em $ t = 2 $.

Passo 9

Finalmente, vamos mostrar por que a definição de continuidade não é satisfeita em $ t = 2 $:
  • A existência do limite geral $ \lim_{t \to 2} f(t) $ não é atendida porque $ \lim_{t \to 2^-} f(t) \neq \lim_{t \to 2^+} f(t) $.
  • Mesmo que tivéssemos o mesmo limite pelas duas direções, precisaríamos que esse limite fosse igual a $ f(2) $, o que já vimos que não está acontecendo completamente.

Resposta

A função $ f(t) $ é descontínua em $ t = 2 $ porque os limites laterais são diferentes ($ 5 $ pela esquerda e $ 8 $ pela direita), e a definição de continuidade não é satisfeita nesse ponto.

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