Nas questões de 6 a 10: a) prove que a função é descontínua em
b) determine os valores da variável independente nos quais a função é descontínua; c) mostre por que a definição de continuidade não é satisfeita em cada descontinuidade.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para provar que a função $ g(x) = \frac{x^{2} - x - 12}{x^{2} + 2x - 3} $ é descontínua em $ a = -3 $, descobrir todos os pontos onde ela é descontínua e explicar por que ela não é contínua nesses pontos. Para isso, vamos precisar usar conceitos de continuidade de funções racionais, fatoração de polinômios e análise de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o numerador e o denominador da função para facilitar a identificação dos pontos problemáticos.
O numerador $ x^{2} - x - 12 $ pode ser fatorado assim:
O denominador $ x^{2} + 2x - 3 $ também pode ser fatorado:
Então, a função fica:
Passo 3
Agora, observamos que o termo $ (x + 3) $ aparece tanto no numerador quanto no denominador. Isso significa que para $ x \neq -3 $, podemos simplificar a função:
No entanto, quando $ x = -3 $, o denominador original $ x^{2} + 2x - 3 $ se anula, ou seja, a função não está definida nesse ponto. Além disso, o denominador também se anula em $ x = 1 $.
Passo 4
Vamos provar que a função é descontínua em $ a = -3 $.
Para uma função ser contínua em $ a $, três condições devem ser satisfeitas:
- A função está definida em $ a $ (ou seja, $ g(a) $ existe).
- O limite de $ g(x) $ quando $ x $ se aproxima de $ a $ existe.
- O limite de $ g(x) $ quando $ x $ se aproxima de $ a $ é igual a $ g(a) $.
No nosso caso, $ a = -3 $:
- A função $ g(-3) $ não está definida porque o denominador se anula.
- Mesmo se tentássemos calcular o limite, a presença de $ (x + 3) $ no denominador causa uma descontinuidade.
Como a função não está definida em $ a = -3 $, ela é descontínua nesse ponto.
Passo 5
Agora, vamos determinar todos os pontos onde a função é descontínua.
Já identificamos que $ x = -3 $ e $ x = 1 $ fazem o denominador ser zero, o que significa que a função não está definida nesses pontos. Portanto, a função $ g(x) $ é descontínua em:
- $ x = -3 $
- $ x = 1 $
Passo 6
Por fim, vamos mostrar por que a definição de continuidade não é satisfeita em cada descontinuidade.
Em $ x = -3 $:
- A função não está definida porque o denominador é zero.
- Portanto, não podemos calcular $ g(-3) $, o que viola a condição de continuidade.
Em $ x = 1 $:
- A função também não está definida porque o denominador é zero.
- Assim, não podemos calcular $ g(1) $, o que novamente viola a condição de continuidade.
Resposta
A função $ g(x) = \frac{x^{2} - x - 12}{x^{2} + 2x - 3} $ é descontínua nos pontos $ x = -3 $ e $ x = 1 $ porque o denominador se anula nesses valores, tornando a função indefinida e violando as condições de continuidade.