Nas questões de 6 a 10: a) prove que a função é descontínua em a ; b) determine os valores da variável independente nos quais a função é descontínua; c) mostre por que a definição de continuidade não é satisfeita em cada descontinuidade.
g(x)=x^2-x-12x^2+2 x-3 ; a=-3

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para provar que a função $ g(x) = \frac{x^{2} - x - 12}{x^{2} + 2x - 3} $ é descontínua em $ a = -3 $, descobrir todos os pontos onde ela é descontínua e explicar por que ela não é contínua nesses pontos. Para isso, vamos precisar usar conceitos de continuidade de funções racionais, fatoração de polinômios e análise de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o numerador e o denominador da função para facilitar a identificação dos pontos problemáticos.
O numerador $ x^{2} - x - 12 $ pode ser fatorado assim:
x^2 - x - 12
O denominador $ x^{2} + 2x - 3 $ também pode ser fatorado:
x^2 - x - 12 = (x - 4)(x + 3)
Então, a função fica:
x^2 + 2x - 3

Passo 3

Agora, observamos que o termo $ (x + 3) $ aparece tanto no numerador quanto no denominador. Isso significa que para $ x \neq -3 $, podemos simplificar a função:
(x + 3)
No entanto, quando $ x = -3 $, o denominador original $ x^{2} + 2x - 3 $ se anula, ou seja, a função não está definida nesse ponto. Além disso, o denominador também se anula em $ x = 1 $.

Passo 4

Vamos provar que a função é descontínua em $ a = -3 $.
Para uma função ser contínua em $ a $, três condições devem ser satisfeitas:
  1. A função está definida em $ a $ (ou seja, $ g(a) $ existe).
  2. O limite de $ g(x) $ quando $ x $ se aproxima de $ a $ existe.
  3. O limite de $ g(x) $ quando $ x $ se aproxima de $ a $ é igual a $ g(a) $.
No nosso caso, $ a = -3 $:
  1. A função $ g(-3) $ não está definida porque o denominador se anula.
  2. Mesmo se tentássemos calcular o limite, a presença de $ (x + 3) $ no denominador causa uma descontinuidade.
Como a função não está definida em $ a = -3 $, ela é descontínua nesse ponto.

Passo 5

Agora, vamos determinar todos os pontos onde a função é descontínua.
Já identificamos que $ x = -3 $ e $ x = 1 $ fazem o denominador ser zero, o que significa que a função não está definida nesses pontos. Portanto, a função $ g(x) $ é descontínua em:
  • $ x = -3 $
  • $ x = 1 $

Passo 6

Por fim, vamos mostrar por que a definição de continuidade não é satisfeita em cada descontinuidade.
Em $ x = -3 $:
  • A função não está definida porque o denominador é zero.
  • Portanto, não podemos calcular $ g(-3) $, o que viola a condição de continuidade.
Em $ x = 1 $:
  • A função também não está definida porque o denominador é zero.
  • Assim, não podemos calcular $ g(1) $, o que novamente viola a condição de continuidade.

Resposta

A função $ g(x) = \frac{x^{2} - x - 12}{x^{2} + 2x - 3} $ é descontínua nos pontos $ x = -3 $ e $ x = 1 $ porque o denominador se anula nesses valores, tornando a função indefinida e violando as condições de continuidade.

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